在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时-优题课

题文

在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5 月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1，第三组的频数为12，请回答下列问题：

（1）本次活动共有多少件作品参加评比?
（2）经过评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，问这两组哪组获奖率更高？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：误差估计

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设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，点 $(a_{n}, b_{n})$ 在函数 $f (x) = 2^{x}$ 的图象上（ $n \in N^{*}$ ）.
（1）若 $a_{1} = - 2$ ，点 $(a_{8}, 4 b_{7})$ 在函数 $f (x)$ 的图象上，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
（2）若 $a_{1} = 1$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $(a_{2}, b_{2})$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2 - \frac{1}{\ln 2}$ ，求数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

三棱锥 $A - B C D$ 及其侧视图、俯视图如图所示.设 $M, N$ 分别为线段 $A D, A B$ 的中点， $P$ 为线段 $B C$ 上的点，且 $M N ⊥ N P$ .

（1）证明： $P$ 为线段 $B C$ 的中点；
（2）求二面角 $A - N P - M$ 的余弦值.

一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

已知函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{4})$ .
（1）求 $f (x)$ 的单调递增区间；
（2）若 $α$ 是第二象限角， $f (\frac{α}{3}) = \frac{4}{5} \cos (α + \frac{π}{4}) \cos 2 α$ ，求 $\cos α - \sin α$ 的值.

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{3} a_{n} \leq a_{n + 1} \leq 3 a_{n}, n \in N^{+}, a_{1} = 1$ .
（1）若 $a_{2} = 2, a_{3} = x, a_{4} = 9$ ，求 $x$ 的取值范围；
（2）若 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 等比数列， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}$ ， $\frac{1}{3} S_{n} \leq S_{n + 1} \leq 3 S_{n}, n \in N^{+}$ 求 $q$ 的取值范围；
（3）若 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ 成等差数列，且 $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k} = 1000$ ，求正整数 $k$ 的最大值，以及 $k$ 取最大值时相应数列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{k}$ 的公差.

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