化简：-优题课

已知 $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $DB$ ， $DC$ ．

（1）如图①，当 $∠ BAC = 120 °$ 时，请直接写出线段 $AB$ ， $AC$ ， $AD$ 之间满足的等量关系式：　 $AB + AC = AD$ 　；

（2）如图②，当 $∠ BAC = 90 °$ 时，试探究线段 $AB$ ， $AC$ ， $AD$ 之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若 $BC = 5$ ， $BD = 4$ ，求 $\frac{AD}{AB + AC}$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $OABC$ 的顶点坐标分别为 $O (0, 0)$ ， $A (12, 0)$ ， $B (8, 6)$ ， $C (0, 6)$ ．动点 $P$ 从点 $O$ 出发，以每秒3个单位长度的速度沿边 $OA$ 向终点 $A$ 运动；动点 $Q$ 从点 $B$ 同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边 $BC$ 向终点 $C$ 运动．设运动的时间为 $t$ 秒， $P Q^{2} = y$ ．

（1）直接写出 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式及 $t$ 的取值范围：　　；

（2）当 $PQ = 3 \sqrt{5}$ 时，求 $t$ 的值；

（3）连接 $OB$ 交 $PQ$ 于点 $D$ ，若双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 经过点 $D$ ，问 $k$ 的值是否变化？若不变化，请求出 $k$ 的值；若变化，请说明理由．

如图， $E$ ， $F$ 分别是正方形 $ABCD$ 的边 $CB$ ， $DC$ 延长线上的点，且 $BE = CF$ ，过点 $E$ 作 $EG / / BF$ ，交正方形外角的平分线 $CG$ 于点 $G$ ，连接 $GF$ ．求证：

（1） $AE ⊥ BF$ ；

（2）四边形 $BEGF$ 是平行四边形．

某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元 $/$ 千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为 $x$ 千克，付款金额为 $y$ 元．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？

为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位： $cm)$ ，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．

（1）填空：样本容量为　　， $a =$ 　　；

（2）把频数分布直方图补充完整；

（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于 $160 cm$ 的概率．