计算:．-优题课

已知点 $E$ 为正方形 $ABCD$ 的边 $AD$ 上一点，连接 $BE$ ，过点 $C$ 作 $CN ⊥ BE$ ，垂足为 $M$ ，交 $AB$ 于点 $N$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔBCN$ ；

（2）若 $N$ 为 $AB$ 的中点，求 $\tan ∠ ABE$ ．

将一副三角板 $Rt Δ ABD$ 与 $Rt Δ ACB$ （其中 $∠ ABD = 90 °$ ， $∠ D = 60 °$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ ABC = 45 °)$ 如图摆放， $Rt Δ ABD$ 中 $∠ D$ 所对直角边与 $Rt Δ ACB$ 斜边恰好重合．以 $AB$ 为直径的圆经过点 $C$ ，且与 $AD$ 交于点 $E$ ，分别连接 $EB$ ， $EC$ ．

（1）求证： $EC$ 平分 $∠ AEB$ ；

（2）求 $\frac{S_{△ ACE}}{S_{△ BEC}}$ 的值．

在 $ΔABC$ 中， $M$ 是 $AC$ 边上的一点，连接 $BM$ ．将 $ΔABC$ 沿 $AC$ 翻折，使点 $B$ 落在点 $D$ 处，当 $DM / / AB$ 时，求证：四边形 $ABMD$ 是菱形．

已知 $ΔABC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $AC$ 于 $D$ ， $BC$ 于 $E$ ，连接 $ED$ ，若 $ED = EC$ ．

（1）求证： $AB = AC$ ；

（2）若 $AB = 4$ ， $BC = 2 \sqrt{3}$ ，求 $CD$ 的长．

如图，四边形 $ABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB = AC$ ， $AC ⊥ BD$ ，垂足为 $E$ ，点 $F$ 在 $BD$ 的延长线上，且 $DF = DC$ ，连接 $AF$ 、 $CF$ ．

（1）求证： $∠ BAC = 2 ∠ CAD$ ；

（2）若 $AF = 10$ ， $BC = 4 \sqrt{5}$ ，求 $\tan ∠ BAD$ 的值．