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今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议．某校积极响应，在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校各班的植树情况进行了统计，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

（1）求该校的班级总数；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）求该校各班在这一活动中植树的平均棵树．

为进一步深化基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了 $A$ 书法、 $B$ 阅读， $C$ 足球， $D$ 器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．

（1）学生小红计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；

（2）若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到 $A$ 处时，该舰在观测点 $P$ 的南偏东 $45 °$ 的方向上，且与观测点 $P$ 的距离 $PA$ 为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点 $P$ 的北偏东 $30 °$ 方向上的 $B$ 处，问此时巡逻舰与观测点 $P$ 的距离 $PB$ 为多少海里？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果精确到1海里）．

如图所示，将二次函数 $y = x^{2} + 2 x + 1$ 的图象沿 $x$ 轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象．函数 $y = x^{2} + 2 x + 1$ 的图象的顶点为点 $A$ ．函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象的顶点为点 $B$ ，和 $x$ 轴的交点为点 $C$ ， $D$ （点 $D$ 位于点 $C$ 的左侧）．

（1）求函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的解析式；

（2）从点 $A$ ， $C$ ， $D$ 三个点中任取两个点和点 $B$ 构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点 $M$ 是线段 $BC$ 上的动点，点 $N$ 是 $ΔABC$ 三边上的动点，是否存在以 $AM$ 为斜边的 $Rt Δ AMN$ ，使 $ΔAMN$ 的面积为 $ΔABC$ 面积的 $\frac{1}{3}$ ？若存在，求 $\tan ∠ MAN$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图 1 所示，在四边形 $ABCD$ 中，点 $O$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $AD$ 的中点，连接 $OE$ ， $EF$ ， $FG$ ， $GO$ ， $GE$ ．

（1）证明：四边形 $OEFG$ 是平行四边形；

（2）将 $ΔOGE$ 绕点 $O$ 顺时针旋转得到 $ΔOMN$ ，如图 2 所示，连接 $GM$ ， $EN$ ．

①若 $OE = \sqrt{3}$ ， $OG = 1$ ，求 $\frac{EN}{GM}$ 的值；

②试在四边形 $ABCD$ 中添加一个条件，使 $GM$ ， $EN$ 的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）