(本小题满分13分)
对于各项均为整数的数列,如果
(
=1,2,3,…)为完全平方数,则称数
列具有“
性质”。
不论数列是否
具有“
性质”,如果存在与
不是同一数列的
,且
同
时满足下面两个条件:①是
的一个排列
;②数列
具有“
性质”,则称数列
具有“变换
性质”。
(I)设数列的前
项和
,证明数列
具有“
性质”;
(II)试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,…,11是否具有“变换性质”,具有此性质的数列请写出相应的数列
,不具此性质的说明理由;
(III)对于有限项数列:1,2,3,…,
,某人已经验证当
时,
数列具有“变换
性质”,试证明:当”
时,数
列
也具有“变换
性质”。
(本小题满分14分)
已知函数,其中
,其中
。
(I)求函数的零点;
(II)讨论在区间
上的单调性;
(III)在区间上,
是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由。
(本小题满分14分)
椭圆:
的离心率为
,长
轴端点与短轴端点间的距离为
。
(I)求椭圆的方程;
(II)设过点的直线
与椭圆
交于
两点,
为坐标原点,若
为直角三角形,求直线的斜率。
(本小题满分14分)
在四棱锥中,侧面
底面
,
,
为
中点,底面
是直角梯形,
,
=90°,
,
。
(I)求证:平面
;
(II)求证:平面
;
(III)设为侧棱
上一点,
,试确定
的值,使得二面角
为45°。
(本小题满分13)
在一个选拔项目中,每个选手都需要进行4轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
、
、
、
,且各
轮问题能否正确回答互不影响。
(I)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(II)求该选手至多进入第三轮考核的概率;
(III)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为
,求随机变量
的分布列和期望。