已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线-优题课

已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图，当点M与点A重合时，求：
①抛物线的解析式；
②点N的坐标和线段MN的长；
（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究：

如图1，在等邻角四边形 $ABCD$ 中， $∠ DAB = ∠ ABC$ ， $AD$ ， $BC$ 的中垂线恰好交于 $AB$ 边上一点 $P$ ，连接 $AC$ ， $BD$ ，试探究 $AC$ 与 $BD$ 的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展：

如图2，在 $Rt Δ ABC$ 与 $Rt Δ ABD$ 中， $∠ C = ∠ D = 90 °$ ， $BC = BD = 3$ ， $AB = 5$ ，将 $Rt Δ ABD$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转角 $α (0 ° < ∠ α < ∠ BAC)$ 得到 $Rt$ △ $AB' D'$ （如图 $3)$ ，当凸四边形 $AD' BC$ 为等邻角四边形时，求出它的面积．

如图1，已知点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是四边形 $ABCD$ 各边 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 的中点，根据以下思路可以证明四边形 $EFGH$ 是平行四边形：

（1）如图2，将图1中的点 $C$ 移动至与点 $E$ 重合的位置， $F$ ， $G$ ， $H$ 仍是 $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 的中点，求证：四边形 $CFGH$ 是平行四边形；

（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的 $5 \times 5$ 网格中，点 $A$ ， $C$ ， $B$ 都在格点上，在格点上画出点 $D$ ，使点 $C$ 与 $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 的中点 $F$ ， $G$ ， $H$ 组成正方形 $CFGH$ ；

（3）在（2）条件下求出正方形 $CFGH$ 的边长．

如图，已知一次函数 $y_{1} = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{4}{x}$ 的图象交于点 $A (- 4, m)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $B$ ，第一象限内点 $C$ 在反比例函数 $y_{2} = \frac{4}{x}$ 的图象上，且以点 $C$ 为圆心的圆与 $x$ 轴， $y$ 轴分别相切于点 $D$ ， $B$

（1）求 $m$ 的值；

（2）求一次函数的表达式；

（3）根据图象，当 $y_{1} < y_{2} < 0$ 时，写出 $x$ 的取值范围．

为落实省新课改精神，我市各校都开设了“知识拓展类”、“体艺特长类”、“实践活动类”三类拓展性课程，某校为了解在周二第六节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况，随机调查了部分学生作为样本进行统计，绘制了如图所示的统计图（部分信息未给出）

根据图中信息，解答下列问题：

（1）求被调查学生的总人数；

（2）若该校有200名学生参加了“体艺特长类”中的各门课程，请估计参加棋类的学生人数；

（3）根据调查结果，请你给学校提一条合理化建议．

太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面 $ΔABC$ 如图2所示， $BC = 10$ 米， $∠ ABC = ∠ ACB = 36 °$ ，改建后顶点 $D$ 在 $BA$ 的延长线上，且 $∠ BDC = 90 °$ ，求改建后南屋面边沿增加部分 $AD$ 的长．（结果精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 18 ° \approx 0.31$ ， $\cos 18 ° \approx 0.95$ ． $\tan 18 ° \approx 0.32$ ， $\sin 36 ° \approx 0.59$ ． $\cos 36 ° \approx 0.81$ ， $\tan 36 ° \approx 0.73)$