解方程组：-优题课

如图所示，在 $ABC$ 中， $AC = BC, ∠ ACB = 90^{\circ}, D, E$ 是边 $AB$ 上的两点， $AD = 3, BE = 4, ∠ DCE = 45^{\circ}$ .则 $△ ABC$ 的面积是多少?

已知在 $△ ABC$ 中， $∠ ABC = 90^{\circ} ， AB = BC$ ，四边形 $CDEF$ 是正方形，连接 $AE, G$ 是 $AE$ 的中点.

（1）如图①，当 $B, C, D$ 在一条直线上时，试判断 $BG$ 与 $GD$ 的位置关系，并求 $\frac{BG}{GD}$ 的值；

（2）如图②，当 $△ ABC$ 绕点 $C$ 旋转后，（1）中结论是否仍然成立?试说明理由.

如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}, AC = BC = 2 \sqrt{5}$ ，边长为2的正方形 $DEFC$ 的对角线交点与点 $C$ 重合，连接 $AD, BE$ .

（1）求证: $△ ACD ≅ △ BCE$ ；

（2）当点 $D$ 在 $△ ABC$ 内部，且 $∠ ADC = 90^{\circ}$ 吋，设 $AC$ 与 $DG$ 相交于点 $M$ ，求 $AM$ 的长；

（3）将正方形 $DEFG$ 绕点 $C$ 旋转一周，当点 $A, D, E$ 三点在同一直线上时，请直接写出 $AD$ 的长.

如图， $P$ 为等边三角形 $ABC$ 内一点， $PA = 3, PB = 4, PC = 5$ ，求 $△ ABC$ 的面积.

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E, F$ 分别是边 $BC, CD$ 上的点， $∠ EAF = 45^{\circ}, △ ECF$ 的周长为 $8$ ，求正方形 $ABCD$ 的面积.