如图所示，△ABC中，DE垂直平分线段AB，AE＝5cm，△-优题课

如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，且 $OA = OB$ ，点 $G$ 为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$ 的坐标；

（2）点 $M$ ， $N$ 为抛物线上两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点 $Q$ 为抛物线上点 $M$ ， $N$ 之间（含点 $M$ ， $N)$ 的一个动点，求点 $Q$ 的纵坐标 $y_{Q}$ 的取值范围．

我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具 $- -$ 三分角器．图1是它的示意图，其中 $AB$ 与半圆 $O$ 的直径 $BC$ 在同一直线上，且 $AB$ 的长度与半圆的半径相等； $DB$ 与 $AC$ 垂直于点 $B$ ， $DB$ 足够长．

使用方法如图2所示，若要把 $∠ MEN$ 三等分，只需适当放置三分角器，使 $DB$ 经过 $∠ MEN$ 的顶点 $E$ ，点 $A$ 落在边 $EM$ 上，半圆 $O$ 与另一边 $EN$ 恰好相切，切点为 $F$ ，则 $EB$ ， $EO$ 就把 $∠ MEN$ 三等分了．

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点 $A$ ， $B$ ， $O$ ， $C$ 在同一直线上， $EB ⊥ AC$ ，垂足为点 $B$ ，　　．

求证：　　．

暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．

方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；

方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．

设某学生暑期健身 $x$ （次 $)$ ，按照方案一所需费用为 $y_{1}$ （元 $)$ ，且 $y_{1} = k_{1} x + b$ ；按照方案二所需费用为 $y_{2}$ （元 $)$ ，且 $y_{2} = k_{2} x$ ．其函数图象如图所示．

（1）求 $k_{1}$ 和 $b$ 的值，并说明它们的实际意义；

（2）求打折前的每次健身费用和 $k_{2}$ 的值；

（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．

位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道 $MP$ 上架设测角仪，先在点 $M$ 处测得观星台最高点 $A$ 的仰角为 $22 °$ ，然后沿 $MP$ 方向前进 $16 m$ 到达点 $N$ 处，测得点 $A$ 的仰角为 $45 °$ ．测角仪的高度为 $1.6 m$ ．

（1）求观星台最高点 $A$ 距离地面的高度（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$ ；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为 $12.6 m$ ．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋 $500 g$ ，与之相差大于 $10 g$ 为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：

$[$ 收集数据 $]$ 从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位： $g)$ 如下：

甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486

502 503 498 497 491 500 505 502 504 505

乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498

502 503 501 490 501 502 511 499 499 501

$[$ 整理数据 $]$ 整理以上数据，得到每袋质量 $x (g)$ 的频数分布表．

质量

频数

机器

$485 ⩽ x < 490$

$490 ⩽ x < 495$

$495 ⩽ x < 500$

$500 ⩽ x < 505$

$505 ⩽ x < 510$

$510 ⩽ x < 515$

甲

2

4

7

4

1

乙

1

3

5

7

3

1

$[$ 分析数据 $]$ 根据以上数据，得到以下统计量．

统计量

机器

平均数

中位数

方差

不合格率

甲

499.7

501.5

42.01

$b$

乙

499.7

$a$

31.81

$10 %$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表格中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．