如图：已知在中，AD平分∠BAC，为边的中点，过点作，垂足分-优题课

在 $ΔABC$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $ΔABC$ 两边的中点，如果 $\hat{DE}$ 上的所有点都在 $ΔABC$ 的内部或边上，则称 $\hat{DE}$ 为 $ΔABC$ 的中内弧．例如，图1中 $\hat{DE}$ 是 $ΔABC$ 的一条中内弧．

（1）如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中， $AB = AC = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $AB$ ， $AC$ 的中点，画出 $ΔABC$ 的最长的中内弧 $\hat{DE}$ ，并直接写出此时 $\hat{DE}$ 的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点 $A (0, 2)$ ， $B (0, 0)$ ， $C (4 t$ ， $0) (t > 0)$ ，在 $ΔABC$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $AB$ ， $AC$ 的中点．

①若 $t = \frac{1}{2}$ ，求 $ΔABC$ 的中内弧 $\hat{DE}$ 所在圆的圆心 $P$ 的纵坐标的取值范围；

②若在 $ΔABC$ 中存在一条中内弧 $\hat{DE}$ ，使得 $\hat{DE}$ 所在圆的圆心 $P$ 在 $ΔABC$ 的内部或边上，直接写出 $t$ 的取值范围．

已知 $∠ AOB = 30 °$ ， $H$ 为射线 $OA$ 上一定点， $OH = \sqrt{3} + 1$ ， $P$ 为射线 $OB$ 上一点， $M$ 为线段 $OH$ 上一动点，连接 $PM$ ，满足 $∠ OMP$ 为钝角，以点 $P$ 为中心，将线段 $PM$ 顺时针旋转 $150 °$ ，得到线段 $PN$ ，连接 $ON$ ．

（1）依题意补全图1；

（2）求证： $∠ OMP = ∠ OPN$ ；

（3）点 $M$ 关于点 $H$ 的对称点为 $Q$ ，连接 $QP$ ．写出一个 $OP$ 的值，使得对于任意的点 $M$ 总有 $ON = QP$ ，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - \frac{1}{a}$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，将点 $A$ 向右平移2个单位长度，得到点 $B$ ，点 $B$ 在抛物线上．

（1）求点 $B$ 的坐标（用含 $a$ 的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点 $P (\frac{1}{2}$ ， $- \frac{1}{a})$ ， $Q (2, 2)$ ．若抛物线与线段 $PQ$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l : y = kx + 1 (k \neq 0)$ 与直线 $x = k$ ，直线 $y = - k$ 分别交于点 $A$ ， $B$ ，直线 $x = k$ 与直线 $y = - k$ 交于点 $C$ ．

（1）求直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段 $AB$ ， $BC$ ， $CA$ 围成的区域（不含边界）为 $W$ ．

①当 $k = 2$ 时，结合函数图象，求区域 $W$ 内的整点个数；

②若区域 $W$ 内没有整点，直接写出 $k$ 的取值范围．

如图， $P$ 是 $\hat{AB}$ 与弦 $AB$ 所围成的图形的外部的一定点， $C$ 是 $\hat{AB}$ 上一动点，连接 $PC$ 交弦 $AB$ 于点 $D$ ．

小腾根据学习函数的经验，对线段 $PC$ ， $PD$ ， $AD$ 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点 $C$ 在 $\hat{AB}$ 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 $PC$ ， $PD$ ， $AD$ 的长度的几组值，如下表：

	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7	位置8
$PC / cm$	3.44	3.30	3.07	2.70	2.25	2.25	2.64	2.83
$PD / cm$	3.44	2.69	2.00	1.36	0.96	1.13	2.00	2.83
$AD / cm$	0.00	0.78	1.54	2.30	3.01	4.00	5.11	6.00

在 $PC$ ， $PD$ ， $AD$ 的长度这三个量中，确定　　的长度是自变量，　　的长度和　　的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系 $xOy$ 中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当 $PC = 2 PD$ 时， $AD$ 的长度约为　　 $cm$ ．