已知AE是∠FAC的平分线，∠B＝∠C＝40°，试说明AE∥-优题课

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 5$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (5, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $D$ 是 $y$ 轴上的一点，且以 $B$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图2， $CE / / x$ 轴与抛物线相交于点 $E$ ，点 $H$ 是直线 $CE$ 下方抛物线上的动点，过点 $H$ 且与 $y$ 轴平行的直线与 $BC$ ， $CE$ 分别相交于点 $F$ ， $G$ ，试探究当点 $H$ 运动到何处时，四边形 $CHEF$ 的面积最大，求点 $H$ 的坐标及最大面积；

（4）若点 $K$ 为抛物线的顶点，点 $M (4, m)$ 是该抛物线上的一点，在 $x$ 轴， $y$ 轴上分别找点 $P$ ， $Q$ ，使四边形 $PQKM$ 的周长最小，求出点 $P$ ， $Q$ 的坐标．

如图，已知 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 为 $BC$ 延长线上的一点，点 $A$ 为圆上一点，且 $AB = AD$ ， $AC = CD$ ．

（1）求证： $ΔACD ∽ ΔBAD$ ；

（2）求证： $AD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

“端午节”是我国流传了上千年的传统节日，全国各地举行了丰富多彩的纪念活动．为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．

（1）用列表或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；

（2）裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．

先化简，再求值： ${(2 a - 1)}^{2} - 2 (a + 1) (a - 1) - a (a - 2)$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$ ．

为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍．购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．

（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；

（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？