如图，在⊙O中，∠ACB∠BDC60°，AC，（1）判断△A-优题课

已知正方形 $ABCD$ 的边长为1，点 $P$ 为正方形内一动点，若点 $M$ 在 $AB$ 上，且满足 $ΔPBC ∽ ΔPAM$ ，延长 $BP$ 交 $AD$ 于点 $N$ ，连接 $CM$ ．

（1）如图一，若点 $M$ 在线段 $AB$ 上，求证： $AP ⊥ BN$ ； $AM = AN$ ；

（2）①如图二，在点 $P$ 运动过程中，满足 $ΔPBC ∽ ΔPAM$ 的点 $M$ 在 $AB$ 的延长线上时， $AP ⊥ BN$ 和 $AM = AN$ 是否成立？（不需说明理由）

②是否存在满足条件的点 $P$ ，使得 $PC = \frac{1}{2}$ ？请说明理由．

小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为 $2500 m$ ，如图是小明和爸爸所走的路程 $s (m)$ 与小明步行时间 $t (\min)$ 的函数图象．

（1）直接写出小明所走路程 $s$ 与时间 $t$ 的函数关系式；

（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？

（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早 $20 \min$ 到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $O$ ， $OC = 1$ ，以点 $O$ 为圆心 $OC$ 为半径作半圆．

（1）求证： $AB$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）如果 $\tan ∠ CAO = \frac{1}{3}$ ，求 $\cos B$ 的值．

如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与双曲线相交于点 $A (m, 3)$ ，与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求双曲线解析式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴上，如果 $ΔACP$ 的面积为3，求点 $P$ 的坐标．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + (2 m + 1) = 0$ 有实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $2 x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} ⩾ 20$ ，求 $m$ 的取值范围．