设梯形的面积为35m2n25mn2，高线长为5mn，下底长为-优题课

如图，在直角坐标系中， $Rt Δ ABC$ 的直角边 $AC$ 在 $x$ 轴上， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = 1$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过 $BC$ 边的中点 $D (3, 1)$ ．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）若 $ΔABC$ 与 $ΔEFG$ 成中心对称，且 $ΔEFG$ 的边 $FG$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $E$ 在这个函数的图象上．

①求 $OF$ 的长；

②连接 $AF$ ， $BE$ ，证明四边形 $ABEF$ 是正方形．

为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：

空气污染指数 $(ω)$	30	40	70	80	90	110	120	140
天数 $(t)$	1	2	3	5	7	6	4	2

说明：环境空气质量指数 $(AQI)$ 技术规定： $ω ⩽ 50$ 时，空气质量为优； $51 ⩽ ω ⩽ 100$ 时，空气质量为良； $101 ⩽ ω ⩽ 150$ 时，空气质量为轻度污染； $151 ⩽ ω ⩽ 200$ 时，空气质量为中度污染， $\dots$

根据上述信息，解答下列问题：

（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数　　，中位数　　；

（2）请补全空气质量天数条形统计图；

（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；

（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动．请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？

某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口 $420 km$ 的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了 $50 %$ ，行驶时间缩短了 $2 h$ ，求汽车原来的平均速度．

已知：如图， $E$ ， $F$ 为 $▱ ABCD$ 对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$ ，连接 $BE$ ， $DF$ ，求证： $BE = DF$ ．

如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ 坐标为 $(6, 0)$ ，点 $C$ 坐标为 $(0, 6)$ ，点 $D$ 是抛物线的顶点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$ ，连接 $BD$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$ 的坐标；

（2）点 $F$ 是抛物线上的动点，当 $∠ FBA = ∠ BDE$ 时，求点 $F$ 的坐标；

（3）若点 $M$ 是抛物线上的动点，过点 $M$ 作 $MN / / x$ 轴与抛物线交于点 $N$ ，点 $P$ 在 $x$ 轴上，点 $Q$ 在坐标平面内，以线段 $MN$ 为对角线作正方形 $MPNQ$ ，请写出点 $Q$ 的坐标．