①②③④-优题课

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形 $ABC$ （顶点是网格线的交点）

（1）先将 $ΔABC$ 竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）将△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕 $B_{1}$ 点顺时针旋转 $90 °$ ，得△ $A_{2} B_{1} C_{2}$ ，请画出△ $A_{2} B_{1} C_{2}$ ；

（3）求线段 $B_{1} C_{1}$ 变换到 $B_{1} C_{2}$ 的过程中扫过区域的面积．

如图， $⊙ M$ 的圆心 $M (- 1, 2)$ ， $⊙ M$ 经过坐标原点 $O$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ．经过点 $A$ 的一条直线 $l$ 解析式为： $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，以 $M$ 为顶点的抛物线经过 $x$ 轴上点 $D (2, 0)$ 和点 $C (- 4, 0)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：直线 $l$ 是 $⊙ M$ 的切线；

（3）点 $P$ 为抛物线上一动点，且 $PE$ 与直线 $l$ 垂直，垂足为 $E$ ； $PF / / y$ 轴，交直线 $l$ 于点 $F$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使 $ΔPEF$ 的面积最小．若存在，请求出此时点 $P$ 的坐标及 $ΔPEF$ 面积的最小值；若不存在，请说明理由．

某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修．现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成．

（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？

（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元．学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成．若完成该工程甲队工作 $m$ 天，乙队工作 $n$ 天．求学校需支付的总工资 $w$ （元 $)$ 与甲队工作天数 $m$ （天 $)$ 的函数关系式，并求出 $m$ 的取值范围及 $w$ 的最小值．

如图，某校教学楼 $AB$ 后方有一斜坡，已知斜坡 $CD$ 的长为12米，坡角 $α$ 为 $60 °$ ，根据有关部门的规定， $∠ α ⩽ 39 °$ 时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡 $CD$ 进行改造，在保持坡脚 $C$ 不动的情况下，学校至少要把坡顶 $D$ 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）

（参考数据： $\sin 39 ° \approx 0.63$ ， $\cos 39 ° \approx 0.78$ ， $\tan 39 ° \approx 0.81$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24)$

如图，已知直线 $PT$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $T$ ，直线 $PO$ 与 $⊙ O$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）求证： $P T^{2} = PA \cdot PB$ ；

（2）若 $PT = TB = \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积．