用提取公因式法分解因式：a3b3a2b2ab；-优题课

当 $x$ 取何正整数值时，代数式 $\frac{x + 3}{2}$ 与 $\frac{2 x - 1}{3}$ 的值的差大于1．

如图1，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = BC$ ，点 $D$ 是 $AB$ 边上一点（含端点 $A$ 、 $B)$ ，过点 $B$ 作 $BE$ 垂直于射线 $CD$ ，垂足为 $E$ ，点 $F$ 在射线 $CD$ 上，且 $EF = BE$ ，连接 $AF$ 、 $BF$ ．

（1）求证： $ΔABF ∽ ΔCBE$ ；

（2）如图2，连接 $AE$ ，点 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别为线段 $AC$ 、 $AE$ 、 $EF$ 的中点，连接 $PM$ 、 $MN$ 、 $PN$ ．求 $∠ PMN$ 的度数及 $\frac{MN}{PM}$ 的值；

（3）在（2）的条件下，若 $BC = \sqrt{2}$ ，直接写出 $ΔPMN$ 面积的最大值．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线，以 $AD$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 边于点 $E$ ，连接 $CE$ ，过点 $D$ 作 $DF / / CE$ ，交 $AB$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BD = 5$ ， $\sin ∠ B = \frac{3}{5}$ ，求线段 $DF$ 的长．

如图，直线 $y = kx + 2$ 与双曲线 $y = \frac{1.5}{x}$ 相交于点 $A$ 、 $B$ ，已知点 $A$ 的横坐标为1．

（1）求直线 $y = kx + 2$ 的解析式及点 $B$ 的坐标；

（2）以线段 $AB$ 为斜边在直线 $AB$ 的上方作等腰直角三角形 $ABC$ ．求经过点 $C$ 的双曲线的解析式．

如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 $D$ 点处时，无人机测得操控者 $A$ 的俯角为 $75 °$ ，测得小区楼房 $BC$ 顶端点 $C$ 处的俯角为 $45 °$ ．已知操控者 $A$ 和小区楼房 $BC$ 之间的距离为45米，小区楼房 $BC$ 的高度为 $15 \sqrt{3}$ 米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $AB$ 的方向，并以5米 $/$ 秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一平面内．参考数据： $\tan 75 ° = 2 + \sqrt{3}$ ， $\tan 15 ° = 2 - \sqrt{3}$ ．计算结果保留根号）