解方程：x39xx29．-优题课

如图①，在钝角 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 30 °$ ， $AC = 4$ ，点 $D$ 为边 $AB$ 中点，点 $E$ 为边 $BC$ 中点，将 $ΔBDE$ 绕点 $B$ 逆时针方向旋转 $α$ 度 $(0 ⩽ α ⩽ 180)$ ．

（1）如图②，当 $0 < α < 180$ 时，连接 $AD$ 、 $CE$ ．求证： $ΔBDA ∽ ΔBEC$ ；

（2）如图③，直线 $CE$ 、 $AD$ 交于点 $G$ ．在旋转过程中， $∠ AGC$ 的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；

（3）将 $ΔBDE$ 从图①位置绕点 $B$ 逆时针方向旋转 $180 °$ ，求点 $G$ 的运动路程．

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

（1）如图①，点 $O$ 在斜边 $AB$ 上，以点 $O$ 为圆心， $OB$ 长为半径的圆交 $AB$ 于点 $D$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ，与边 $AC$ 相切于点 $F$ ．求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ；

（2）在图②中作 $⊙ M$ ，使它满足以下条件：

①圆心在边 $AB$ 上；②经过点 $B$ ；③与边 $AC$ 相切．

（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．

男、女生所选类别人数统计表

根据以上信息解决下列问题

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为　　 $°$ ；

（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ， $BC = 2$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $AB$ 、 $CD$ 上，且 $BE = DF = \frac{3}{2}$ ．

（1）求证：四边形 $AECF$ 是菱形；

（2）求线段 $EF$ 的长．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $D$ 是弧 $BC$ 的中点， $BC$ 与 $AD$ 、 $OD$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $DO / / AC$ ；

（2）求证： $DE \cdot DA = D C^{2}$ ；

（3）若 $\tan ∠ CAD = \frac{1}{2}$ ，求 $\sin ∠ CDA$ 的值．