已知向量||2,||8,则||的最大值是，||的最小值是。-优题课

已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 和向量 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $30 °$ ， $|\overset{⇀}{a}| = 2 |\overset{⇀}{b}| = \sqrt{3}$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 和向量 $\overset{⇀}{b}$ 的数量积 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ = .

若复数 $z_{1} = 4 + 29 i, z_{2} = 6 + 9 i$ ,其中 $i$ 是虚数单位，则复数 ${(z_{1} - z_{2})}^{i}$ 的实部为（）。

设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合，对于映射 $f : V \to V, \overset{⇀}{a} \in V$ ，记 $\overset{⇀}{a}$ 的象为 $f (\overset{⇀}{a})$ 。若映射 $f : V \to V$ 满足：对所有 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b} \in V$ 及任意实数 $λ, μ$ 都有，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换。现有下列命题：
①设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，则
②对设，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
③若 $\overset{⇀}{e}$ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 $\overset{⇀}{a} \in V$ 设 $f (\overset{⇀}{a}) = \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{e}$ ，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
④设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换， $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b} \in V$ ，若 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 共线，则 $f (\overset{⇀}{a}), f (\overset{⇀}{b})$ 也共线。
其中真命题是（写出所有真命题的序号）

如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各条棱长都相等， $M$ 是侧棱 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A B_{1}$ 和 $B M$ 所成的角的大小是

若⊙ $O_{1} : x^{2} + y^{2} = 5$ 与⊙ $O_{2} : (x - m)^{2} + y^{2} = 20 (m \in R)$ 相交于 $A, B$ 两点，且两圆在点 $A$ 处的切线互相垂直，则线段 $A B$ 的长度是.