计算：;-优题课

在等腰三角形 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，作 $CM ⊥ AB$ 交 $AB$ 于点 $M$ ， $BN ⊥ AC$ 交 $AC$ 于点 $N$ ．

（1）在图1中，求证： $ΔBMC ≅ ΔCNB$ ；

（2）在图2中的线段 $CB$ 上取一动点 $P$ ，过 $P$ 作 $PE / / AB$ 交 $CM$ 于点 $E$ ，作 $PF / / AC$ 交 $BN$ 于点 $F$ ，求证： $PE + PF = BM$ ；

（3）在图3中动点 $P$ 在线段 $CB$ 的延长线上，类似（2）过 $P$ 作 $PE / / AB$ 交 $CM$ 的延长线于点 $E$ ，作 $PF / / AC$ 交 $NB$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $AM \cdot PF + OM \cdot BN = AM \cdot PE$ ．

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 $A (1, 4)$ ，与坐标轴交于 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点，且 $B$ 点的坐标为 $(- 1, 0)$ ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于 $x$ 轴上方部分有两个动点 $M$ 、 $N$ ，且点 $N$ 在点 $M$ 的左侧，过 $M$ 、 $N$ 作 $x$ 轴的垂线交 $x$ 轴于点 $G$ 、 $H$ 两点，当四边形 $MNHG$ 为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）当矩形 $MNHG$ 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点 $P$ ，使 $ΔPNC$ 的面积是矩形 $MNHG$ 面积的 $\frac{9}{16}$ ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点 $A$ 处，手柄长 $AB = 25 cm$ ， $AB$ 与墙壁 $DD'$ 的夹角 $∠ D' AB = 37 °$ ，喷出的水流 $BC$ 与 $AB$ 形成的夹角 $∠ ABC = 72 °$ ，现在住户要求：当人站在 $E$ 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的 $C$ 处，且使 $DE = 50 cm$ ， $CE = 130 cm$ ．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？

（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sin 72 ° \approx 0.95$ ， $\cos 72 ° \approx 0.31$ ， $\tan 72 ° \approx 3.08$ ， $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70)$ ．

为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：

请根据图中信息回答下面的问题：

（1）本次抽样调查了多少户贫困户？

（2）抽查了多少户 $C$ 类贫困户？并补全统计图；

（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？

（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从 $D$ 类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．

如图， $⊙ O$ 与 $ΔABC$ 的 $AC$ 边相切于点 $C$ ，与 $AB$ 、 $BC$ 边分别交于点 $D$ 、 $E$ ， $DE / / OA$ ， $CE$ 是 $⊙ O$ 的直径．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BD = 4$ ， $EC = 6$ ，求 $AC$ 的长．