中国首个月球探测计划嫦娥工程预计在2017年送机器人上月球，-优题课

题文

中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A.计时表一只；B.弹簧测力计一把；C.已知质量为m的物体一个。在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t.飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可以推导出月球的半径和质量．(已知引力常量为G，忽略月球的自转的影响)
(1)说明机器人是如何进行第二次测量的？用相应的符号表示第二次测量的物理量，并写出相关的物理关系式。
(2)试用上述两次测量的物理量和已知物理量推导月球半径和质量的表达式．

科目物理题型计算题难度中等

知识点：万有引力定律及其应用

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石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖。用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建"太空电梯"的梦想有望在本世纪实现。科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换。

（1）若"太空电梯"将货物从赤道基站运到距地面高度为 $h_{1}$ 的同步轨道站，求轨道站内质量为 $m_{1}$ 的货物相对地心运动的动能。设地球自转角速度为 $ω$ ，地球半径为 $R$ 。
（2）当电梯仓停在距地面高度 $h_{2} = 4 R$ 的站点时，求仓内质量 $m_{2} = 50 k g$ 的人对水平地板的压力大小。取地面附近重力加速度 $g = 10 m / s^{2}$ ，地球自转角速度 $ω = 7.3 \times 10^{- 5} r a d / s$ ，地球半径 $R = 6.4 \times 10^{3} k m$ 。

如图，光滑水平直轨道上两滑块 $A$ 、 $B$ 用橡皮筋连接， $A$ 的质量为 $m$ ，开始时橡皮筋松弛， $B$ 静止，给 $A$ 向左的初速度 $v_{0}$ ，一段时间后， $B$ 与 $A$ 同向运动发生碰撞并粘在一起，碰撞后的共同速度是碰撞前瞬间 $A$ 的速度的两倍，也是碰撞前瞬间 $B$ 的速度的一半。求：

（i） $B$ 的质量；
（ii）碰撞过程中 $A$ 、 $B$ 系统机械能的损失。

如图所示，三角形 $A B C$ 为某透明介质的横截面， $O$ 为 $B C$ 边的中点，位于截面所在平面内的一束光线自 $O$ 以角度 $i$ 入射，第一次到达 $A B$ 边恰好发生全反射。已知 $θ = 15^{0}$ ， $B C$ 边长为 $2 L$ ，该介质的折射率为 $\sqrt{2}$ 。求：

（i）入射角 $i$

（ii）从入射到发生第一次全反射所用的时间（设光在真空中的速度为 $c$ ，可能用到： $\sin (75^{0}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 或 $\tan (15^{0}) = 2 - \sqrt{3}$ ）。

一种水下重物打捞方法的工作原理如图所示。将一质量 $M = 3 \times 10^{3} k g$ 、体积 $V_{0} = 0.5 m^{3}$ 的重物捆绑在开口朝下的浮筒上。向浮筒内冲入一定质量的气体，开始时筒内液面到水面的距离 $h_{1} = 40 m$ ，筒内气体体积 $V_{1} = 1 m^{3}$ 。在拉力作用下浮筒缓慢上升，当筒内液面的距离为 $h_{2}$ 时，拉力减为零，此时气体体积为 $V_{2}$ ，随后浮筒和重物自动上浮。求 $V_{2}$ 和 $h_{2}$ 。

已知:大气压强 $P_{0} = 1 \times 10^{5} P_{a}$ ，水的密度 $ρ = 1 \times 10^{3} k g / m^{3}$ ，重力加速度的大小 $g = 10 m / s^{2}$ 。不计水温变化，筒内气体质量不变且可视为理想气体，浮筒质量和筒壁厚度可忽略。

如图甲所示，间距为 $d$ 、垂直于纸面的两平行板 $P$ 、 $Q$ 间存在匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。 $t = 0$ 时刻，一质量为 $m$ 、带电荷量为 $+ q$ 的粒子（不计重力），以初速度 $v_{0}$ 由 $Q$ 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当 $B_{0}$ 和 $T_{B}$ 取某些特定值时，可使 $t = 0$ 时刻入射的粒子经 $Δ t$ 时间恰能垂直打在 $P$ 板上（不考虑粒子反弹）。上述 $m$ 、 $q$ 、 $d$ 、 $v_{0}$ 为已知量。

（1）若 $Δ t = \frac{1}{2} T_{B}$ ，求 $B_{0}$ ；
（2）若 $Δ t = \frac{3}{2} T_{B}$ ，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
（3）若 $B_{0} = \frac{4 m v_{0}}{q d}$ ，为使粒子仍能垂直打在 $P$ 板上，求 $T_{B}$ 。

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