合并同类项：-优题课

如图， $AB$ 为半圆 $O$ 的直径， $C$ 为半圆 $O$ 上一点， $AD$ 与过点 $C$ 的切线垂直，垂足为 $D$ ， $AD$ 交半圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $AC$ 平分 $∠ DAB$ ；

（2）若 $AE = 2 DE$ ，试判断以 $O$ ， $A$ ， $E$ ， $C$ 为顶点的四边形的形状，并说明理由．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 k + 8 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）若 $x_{1}^{3} x_{2} + x_{1} x_{2}^{3} = 24$ ，求 $k$ 的值．

某校开展"爱国主义教育"诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同．

（1）小文诵读《长征》的概率是　　；

（2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率．

如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 $α$ 一般要满足 $50 ° ⩽ α ⩽ 75 °$ ，现有一架长为 $6 m$ 的梯子，当梯子底端离墙面 $2 m$ 时，此时人是否能够安全使用这架梯子（参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\sin 75 ° \approx 0.97$ ， $\cos 75 ° = 0.26)$ ？

先化简，再求值： $1 - \frac{a - b}{a + 2 b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 4 ab + 4 b^{2}}$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 3$ ， $b = 3$ ．