初一（一）班班长重新选举，小梁和小栋都想被当选，于是全班55-优题课

如图1，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = ∠ BCD$ ，点 $E$ 在边 $BC$ 上，且 $AE / / CD$ ， $DE / / AB$ ，作 $CF / / AD$ 交线段 $AE$ 于点 $F$ ，连接 $BF$ ．

（1）求证： $ΔABF ≅ ΔEAD$ ；

（2）如图2．若 $AB = 9$ ， $CD = 5$ ， $∠ ECF = ∠ AED$ ，求 $BE$ 的长；

（3）如图3，若 $BF$ 的延长线经过 $AD$ 的中点 $M$ ，求 $\frac{BE}{EC}$ 的值．

已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + 1 (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）若点 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 都在此抛物线上，且 $- 1 < x_{1} < 0$ ， $1 < x_{2} < 2$ ．比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小，并说明理由；

（3）设直线 $y = m (m > 0)$ 与抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + 1$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，与抛物线 $y = 3 {(x - 1)}^{2}$ 交于点 $C$ ， $D$ ，求线段 $AB$ 与线段 $CD$ 的长度之比．

为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量（单位： $kW \cdot h)$ 调查，按月用电量 $50 ~ 100$ ， $100 ~ 150$ ， $150 ~ 200$ ， $200 ~ 250$ ， $250 ~ 300$ ， $300 ~ 350$ 进行分组，绘制频数分布直方图如图．

（1）求频数分布直方图中 $x$ 的值；

（2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）；

（3）设各组居民用户月平均用电量如表：

组别	$50 ~ 100$	$100 ~ 150$	$150 ~ 200$	$200 ~ 250$	$250 ~ 300$	$300 ~ 350$
月平均用电量（单位： $kW \cdot h)$	75	125	175	225	275	325

根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．

如图，圆 $O$ 中两条互相垂直的弦 $AB$ ， $CD$ 交于点 $E$ ．

（1） $M$ 是 $CD$ 的中点， $OM = 3$ ， $CD = 12$ ，求圆 $O$ 的半径长；

（2）点 $F$ 在 $CD$ 上，且 $CE = EF$ ，求证： $AF ⊥ BD$ ．

）已知正比例函数 $y = kx (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象都经过点 $A (m, 2)$ ．

（1）求 $k$ ， $m$ 的值；

（2）在图中画出正比例函数 $y = kx$ 的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时 $x$ 的取值范围．