如图，ABDF，ACDE，BEFC，求证：∠B∠F-优题课

如图， $ΔABC$ 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 $A (- 4, 4)$ ， $B (- 1, 1)$ ， $C (- 1, 4)$ ．

（1）画出与 $ΔABC$ 关于 $y$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

（2）将 $ΔABC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{2} B C_{2}$ ，画出△ $A_{2} B C_{2}$ ．

（3）求线段 $AB$ 在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留 $π)$

如图，点 $E$ ， $F$ 分别在正方形 $ABCD$ 的边 $CD$ ， $BC$ 上，且 $DE = CF$ ，点 $P$ 在射线 $BC$ 上（点 $P$ 不与点 $F$ 重合）．将线段 $EP$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $EG$ ，过点 $E$ 作 $GD$ 的垂线 $QH$ ，垂足为点 $H$ ，交射线 $BC$ 于点 $Q$ ．

（1）如图1，若点 $E$ 是 $CD$ 的中点，点 $P$ 在线段 $BF$ 上，线段 $BP$ ， $QC$ ， $EC$ 的数量关系为　　．

（2）如图2，若点 $E$ 不是 $CD$ 的中点，点 $P$ 在线段 $BF$ 上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形 $ABCD$ 的边长为6， $AB = 3 DE$ ， $QC = 1$ ，请直接写出线段 $BP$ 的长．

某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的 $60 %$ ．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？

如图，学校教学楼上悬挂一块长为 $3 m$ 的标语牌，即 $CD = 3 m$ ．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点 $D$ 到地面的距离．测角仪支架高 $AE = BF = 1.2 m$ ，小明在 $E$ 处测得标语牌底部点 $D$ 的仰角为 $31 °$ ，小红在 $F$ 处测得标语牌顶部点 $C$ 的仰角为 $45 °$ ， $AB = 5 m$ ，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点 $D$ 到地面的距离 $DH$ 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $H$ 在同一平面内）

（参考数据： $\tan 31 ° \approx 0.60$ ， $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86)$

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CA = CB$ ，点 $O$ 在 $ΔABC$ 的内部， $⊙ O$ 经过 $B$ ， $C$ 两点，交 $AB$ 于点 $D$ ，连接 $CO$ 并延长交 $AB$ 于点 $G$ ，以 $GD$ ， $GC$ 为邻边作 $▱ GDEC$ ．

（1）判断 $DE$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

（2）若点 $B$ 是 $\hat{DBC}$ 的中点， $⊙ O$ 的半径为2，求 $\hat{BC}$ 的长．