如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不-优题课

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如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？

科目数学题型解答题难度中等

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解不等式组 $\{\begin{matrix} x > \frac{1 - x}{2} \\ 3 (x - \frac{7}{3}) < x + 1 \end{matrix}$ ，并求此不等式组的整数解．

已知： $x \neq y$ ， $y = - x + 8$ ，求代数式 $\frac{x^{2}}{x - y} + \frac{y^{2}}{y - x}$ 的值．

如图1，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax - 8 a$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 4)$ ．

（1）点 $A$ 的坐标为　　，点 $B$ 的坐标为　　，线段 $AC$ 的长为　　，抛物线的解析式为　　．

（2）点 $P$ 是线段 $BC$ 下方抛物线上的一个动点．

①如果在 $x$ 轴上存在点 $Q$ ，使得以点 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形．求点 $Q$ 的坐标．

②如图2，过点 $P$ 作 $PE / / CA$ 交线段 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作直线 $x = t$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，交 $x$ 轴于点 $G$ ，记 $PE = f$ ，求 $f$ 关于 $t$ 的函数解析式；当 $t$ 取 $m$ 和 $4 - \frac{1}{2} m (0 < m < 2)$ 时，试比较 $f$ 的对应函数值 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的大小．

如图，点 $I$ 是 $ΔABC$ 的内心， $BI$ 的延长线与 $ΔABC$ 的外接圆 $⊙ O$ 交于点 $D$ ，与 $AC$ 交于点 $E$ ，延长 $CD$ 、 $BA$ 相交于点 $F$ ， $∠ ADF$ 的平分线交 $AF$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $DG / / CA$ ；

（2）求证： $AD = ID$ ；

（3）若 $DE = 4$ ， $BE = 5$ ，求 $BI$ 的长．

为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 $A$ 、 $B$ 两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套 $B$ 型一体机的价格比每套 $A$ 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套 $A$ 型一体机和200套 $B$ 型一体机．

（1）求今年每套 $A$ 型、 $B$ 型一体机的价格各是多少万元？

（2）该市明年计划采购 $A$ 型、 $B$ 型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套 $A$ 型一体机的价格比今年上涨 $25 %$ ，每套 $B$ 型一体机的价格不变，若购买 $B$ 型一体机的总费用不低于购买 $A$ 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？

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