经过平移，△ABC的边AB移到了MN，作出平移后的三角形，你-优题课

在一平面内，线段 $AB = 20$ ，线段 $BC = CD = DA = 10$ ，将这四条线段顺次首尾相接．把 $AB$ 固定，让 $AD$ 绕点 $A$ 从 $AB$ 开始逆时针旋转角 $α (α > 0 °)$ 到某一位置时， $BC$ ， $CD$ 将会跟随出现到相应的位置．

论证：如图1，当 $AD / / BC$ 时，设 $AB$ 与 $CD$ 交于点 $O$ ，求证： $AO = 10$ ；

发现：当旋转角 $α = 60 °$ 时， $∠ ADC$ 的度数可能是多少？

尝试：取线段 $CD$ 的中点 $M$ ，当点 $M$ 与点 $B$ 距离最大时，求点 $M$ 到 $AB$ 的距离；

拓展：①如图2，设点 $D$ 与 $B$ 的距离为 $d$ ，若 $∠ BCD$ 的平分线所在直线交 $AB$ 于点 $P$ ，直接写出 $BP$ 的长（用含 $d$ 的式子表示）；

②当点 $C$ 在 $AB$ 下方，且 $AD$ 与 $CD$ 垂直时，直接写出 $α$ 的余弦值．

如图是某同学正在设计的一动画示意图， $x$ 轴上依次有 $A$ ， $O$ ， $N$ 三个点，且 $AO = 2$ ，在 $ON$ 上方有五个台阶 $T_{1} ~ T_{5}$ （各拐角均为 $90 °)$ ，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶 $T_{1}$ 到 $x$ 轴距离 $OK = 10$ ．从点 $A$ 处向右上方沿抛物线 $L : y = - x^{2} + 4 x + 12$ 发出一个带光的点 $P$ ．

（1）求点 $A$ 的横坐标，且在图中补画出 $y$ 轴，并直接指出点 $P$ 会落在哪个台阶上；

（2）当点 $P$ 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 $L$ 形状相同的抛物线 $C$ ，且最大高度为11，求 $C$ 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 $T_{5}$ 有交点；

（3）在 $x$ 轴上从左到右有两点 $D$ ， $E$ ，且 $DE = 1$ ，从点 $E$ 向上作 $EB ⊥ x$ 轴，且 $BE = 2$ ．在 $ΔBDE$ 沿 $x$ 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 $C$ 下落的点 $P$ 能落在边 $BD$ （包括端点）上，则点 $B$ 横坐标的最大值比最小值大多少？

$[$ 注：（2）中不必写 $x$ 的取值范围 $]$

如图， $⊙ O$ 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 $A_{n} (n$ 为 $1 ~ 12$ 的整数），过点 $A_{7}$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A_{1} A_{11}$ 延长线于点 $P$ ．

（1）通过计算比较直径和劣弧 $\hat{A_{7} A_{11}}$ 长度哪个更长；

（2）连接 $A_{7} A_{11}$ ，则 $A_{7} A_{11}$ 和 $P A_{1}$ 有什么特殊位置关系？请简要说明理由；

（3）求切线长 $P A_{7}$ 的值．

如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点 $P)$ 始终以 $3 km / \min$ 的速度在离地面 $5 km$ 高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点 $Q)$ 一直保持在1号机 $P$ 的正下方．2号机从原点 $O$ 处沿 $45 °$ 仰角爬升，到 $4 km$ 高的 $A$ 处便立刻转为水平飞行，再过 $1 \min$ 到达 $B$ 处开始沿直线 $BC$ 降落，要求 $1 \min$ 后到达 $C (10, 3)$ 处．

（1）求 $OA$ 的 $h$ 关于 $s$ 的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；

（2）求 $BC$ 的 $h$ 关于 $s$ 的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；

（3）通过计算说明两机距离 $PQ$ 不超过 $3 km$ 的时长是多少．

$[$ 注：（1）及（2）中不必写 $s$ 的取值范围 $]$

某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．

（1）求嘉淇走到十字道口 $A$ 向北走的概率；

（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．