（本小题满分13分）直线y＝kx＋b与曲线交于A、B两点，记-优题课

已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{2} + a x^{2} + b x$ ，且 $f ` (- 1) = 0$ .

（I）试用含 $a$ 的代数式表示 $b$ ；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）令 $a = - 1$ ，设函数 $f (x)$ 在 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 处取得极值，记点 $M (x_{1}, f (x_{1}))$ , $N (x_{2}, f (x_{2}))$ ,证明：线段 $M N$ 与曲线 $f (x)$ 存在异于 $M$ 、 $N$ 的公共点.

如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60^{°}, A B = 2, A D = 4$ 将 $△ C B D$ 沿 $B D$ 折起到 $△ E B D$ 的位置，使平面 $E D B ⊥$ 平面 $A B D$ .

（Ⅰ）求证： $A B ⊥ D E$ ；
（Ⅱ）求三棱锥 $E - A B D$ 的侧面积.

对于数列 ${u_{n}}$ ，若存在常数 $M > 0$ ，对任意的 $n \in N^{+}$ ，恒有 $|u_{n + 1} - u_{n}| + |u_{n} - u_{n - 1}| + . . . + |u_{2} - u_{1}| \leq M$ ，则称数列 ${u_{n}}$ 为 $B -$ 数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为 $- \frac{1}{2}$ 的等比数列是否为 $B -$ 数列？请说明理由；
（Ⅱ）设 $S_{n}$ 是数列 ${x_{n}}$ 的前 $n$ 项和，给出下列两组判断：
A组：①数列 ${x_{n}}$ 是 $B -$ 数列；②数列 ${x_{n}}$ 不是 $B -$ 数列；
B组：③数列 ${S_{n}}$ 是 $B -$ 数列；④数列 ${S_{n}}$ 不是 $B -$ 数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（Ⅲ）若数列 ${a_{n}}$ 是 $B -$ 数列，证明：数列 ${{a_{n}}^{2}}$ 也是 $B -$ 数列.

已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ 的导函数的图象关于直线 $x = 2$ 对称.
（Ⅰ）求 $b$ 的值；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在 $x = t$ 处取得最小值，记此极小值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的定义域和值域.

如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A A_{1} = \sqrt{7}$ ,点 $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ 在 $A C$ 上，且 $D E ⊥ A_{1} E$ .

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} D E ⊥ A C C_{1} A_{1}$

（Ⅱ）求直线AD和平面 $A_{1} D E$ 所成角的正弦值。