计算：（1）；（2）-优题课

在 $ΔABC$ 中， $AB = BC$ ，点 $O$ 是 $AC$ 的中点，点 $P$ 是 $AC$ 上的一个动点（点 $P$ 不与点 $A$ ， $O$ ， $C$ 重合）．过点 $A$ ，点 $C$ 作直线 $BP$ 的垂线，垂足分别为点 $E$ 和点 $F$ ，连接 $OE$ ， $OF$ ．

（1）如图1，请直接写出线段 $OE$ 与 $OF$ 的数量关系；

（2）如图2，当 $∠ ABC = 90 °$ 时，请判断线段 $OE$ 与 $OF$ 之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若 $| CF - AE | = 2$ ， $EF = 2 \sqrt{3}$ ，当 $ΔPOF$ 为等腰三角形时，请直接写出线段 $OP$ 的长．

某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量 $y$ （袋 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中 $3.5 ⩽ x ⩽ 5.5$ ，另外每天还需支付其他各项费用80元．

销售单价 $x$ （元 $)$	3.5	5.5
销售量 $y$ （袋 $)$	280	120

（1）请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？

（3）设每天的利润为 $w$ 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $\hat{AC} = \hat{BC}$ ， $E$ 是 $OB$ 的中点，连接 $CE$ 并延长到点 $F$ ，使 $EF = CE$ ．连接 $AF$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $BD$ ， $BF$ ．

（1）求证：直线 $BF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OB = 2$ ，求 $BD$ 的长．

如图，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{a}{x} (a \neq 0)$ 的图象在第二象限交于点 $A (m, 2)$ ．与 $x$ 轴交于点 $C (- 1, 0)$ ．过点 $A$ 作 $AB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $ΔABC$ 的面积是3．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）若直线 $AC$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，求 $ΔBCD$ 的面积．

某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用，修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元，修建2个足球场和4个篮球场共需27万元．

（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？

（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个，投入资金不超过90万元，求至少可以修建多少个足球场？