如图的小方格都是边长为1个单位的正方形，按照下列要求作图.（-优题课

如图，四边形 $ABCD$ 为平行四边形，连接 $AC$ ，且 $AC = 2 AB$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $∠ BAC$ 的角平分线与 $BC$ 交于点 $E$ ．连接 $BD$ 交 $AE$ 于点 $F$ ，交 $AC$ 于点 $O$ ，猜想线段 $BF$ 和线段 $DF$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：

抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分） $:$

6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．

七八年级教师竞赛成绩统计表

年级	七年级	八年级
平均数	8.5	8.5
中位数	$a$	9
众数	8	$b$
优秀率	$45 %$	$55 %$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．

计算：

（1） $a (2 a + 3 b) + {(a - b)}^{2}$ ；

（2） $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 2 x + 1} \div (x + \frac{3 - x^{2}}{x + 1})$ ．

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $D$ 是边 $BC$ 上一动点，连接 $AD$ ，将 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $AE$ 的位置，使得 $∠ DAE + ∠ BAC = 180 °$ ．

（1）如图1，当 $∠ BAC = 90 °$ 时，连接 $BE$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ．若 $BE$ 平分 $∠ ABC$ ， $BD = 2$ ，求 $AF$ 的长；

（2）如图2，连接 $BE$ ，取 $BE$ 的中点 $G$ ，连接 $AG$ ．猜想 $AG$ 与 $CD$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $DG$ ， $CE$ ．若 $∠ BAC = 120 °$ ，当 $BD > CD$ ， $∠ AEC = 150 °$ 时，请直接写出 $\frac{BD - DG}{CE}$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过 $A (0, - 1)$ ， $B (4, 1)$ ．直线 $AB$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ， $P$ 是直线 $AB$ 下方抛物线上的一个动点．过点 $P$ 作 $PD ⊥ AB$ ，垂足为 $D$ ， $PE / / x$ 轴，交 $AB$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当 $ΔPDE$ 的周长取得最大值时，求点 $P$ 的坐标和 $ΔPDE$ 周长的最大值；

（3）把抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点 $P$ ． $M$ 是新抛物线上一点， $N$ 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形的点 $M$ 的坐标，并把求其中一个点 $M$ 的坐标的过程写出来．