有点光源S在平面镜上方，若在P点初看到点光源的反射光线，并测-优题课

阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

$\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β$

$\tan (α \pm β) = \frac{\tan α \pm \tan β}{1 \overset{̅}{+} \tan α \tan β}$

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

例： $\tan 75 ° = \tan (45 ° + 30 °) = \frac{\tan 45 ° + \tan 30 °}{1 - \tan 45 ° \tan 30 °} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 + \sqrt{3}$

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

（1）计算： $\sin 15 °$ ；

（2）某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的 $C$ 处，在 $D$ 点测得纪念碑碑顶的仰角为 $75 °$ ， $DC$ 为 $\sqrt{3}$ 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．

在四个完全相同的小球上分别标上 1 ， 2 ， 3 ， 4 四个数字，然后装入一个不透明的口袋里搅匀，小明同学随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号．

（1）请你用画树状图或列表的方法分别表示小明同学摸球的所有可能出现的结果．

（2）按照小明同学的摸球方法，把第一次取出的小球的数字作为点 $M$ 的横坐标，把第二次取出的小球的数字作为点 $M$ 的纵坐标，试求出点 $M (x, y)$ 落在直线 $y = x$ 上的概率是多少？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 是 $AB$ 的中点， $DE ⊥ DF$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AC$ ， $BC$ 上，求证： $DE = DF$ ．

如图，二次函数 $y = - x^{2} + 3 x + m$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B (4, 0)$ ，另一个交点为 $A$ ，且与 $y$ 轴相交于 $C$ 点．

（1）求 $m$ 的值及 $C$ 点坐标；

（2）在直线 $BC$ 上方的抛物线上是否存在一点 $M$ ，使得它与 $B$ ， $C$ 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时 $M$ 点坐标；若不存在，请简要说明理由；

（3） $P$ 为抛物线上一点，它关于直线 $BC$ 的对称点为 $Q :$

①当四边形 $PBQC$ 为菱形时，求点 $P$ 的坐标；

②点 $P$ 的横坐标为 $t (0 < t < 4)$ ，当 $t$ 为何值时，四边形 $PBQC$ 的面积最大，请说明理由．

求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法 $- -$ 更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．

例如：求91与56的最大公约数

解：

请用以上方法解决下列问题：

（1）求108与45的最大公约数；

（2）求三个数78、104、143的最大公约数．