已知，如图，抛物线＞0）与轴交于点C，与轴交于A，B两点，点-优题课

已知，如图，抛物线＞0）与轴交于点C，与轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

在直角坐标系 $xOy$ 中， $A (0, 2)$ 、 $B (- 1, 0)$ ，将 $ΔABO$ 经过旋转、平移变化后得到如图1所示的 $ΔBCD$ ．

（1）求经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）连接 $AC$ ，点 $P$ 是位于线段 $BC$ 上方的抛物线上一动点，若直线 $PC$ 将 $ΔABC$ 的面积分成 $1 : 3$ 两部分，求此时点 $P$ 的坐标；

（3）现将 $ΔABO$ 、 $ΔBCD$ 分别向下、向左以 $1 : 2$ 的速度同时平移，求出在此运动过程中 $ΔABO$ 与 $ΔBCD$ 重叠部分面积的最大值．

如图，在直角坐标系 $xOy$ 中，矩形 $OABC$ 的顶点 $A$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 的坐标是 $(5, 2)$ ，点 $P$ 是 $CB$ 边上一动点（不与点 $C$ 、点 $B$ 重合），连接 $OP$ 、 $AP$ ，过点 $O$ 作射线 $OE$ 交 $AP$ 的延长线于点 $E$ ，交 $CB$ 边于点 $M$ ，且 $∠ AOP = ∠ COM$ ，令 $CP = x$ ， $MP = y$ ．

（1）当 $x$ 为何值时， $OP ⊥ AP$ ？

（2）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（3）在点 $P$ 的运动过程中，是否存在 $x$ ，使 $ΔOCM$ 的面积与 $ΔABP$ 的面积之和等于 $ΔEMP$ 的面积？若存在，请求 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AC$ 边为直径作 $⊙ O$ 交 $BC$ 边于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E$ ， $ED$ 、 $AC$ 的延长线交于点 $F$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $EB = \frac{3}{2}$ ，且 $\sin ∠ CFD = \frac{3}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径与线段 $AE$ 的长．

如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = ax + b$ 的图象交于点 $A (2, 2)$ 、 $B (\frac{1}{2}$ ， $n)$ ．

（1）求这两个函数解析式；

（2）将一次函数 $y = ax + b$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $m$ 个单位，使平移后的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象有且只有一个交点，求 $m$ 的值．

如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在 $A$ 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的 $B$ 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东 $75 °$ 方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在 $C$ 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

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