（本题10分）双曲线的离心率等于4，且与椭圆
有相同的焦点，求此双曲线方程.
如图，三棱柱
中，侧面
为菱形，
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）若
，
,
,求二面角
的余弦值．
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均值
和样本方差
（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标
服从正态分布
，其中
近似为样本平均数，
近似为样本方差．
（ⅰ）利用该正态分布，求
；
（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记
表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数．利用（ⅰ）的结果，求
．
附：
若
则
，
．
已知数列
的前
项和为
，
，
，
，其中
为常数．
（1）证明：
；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=
，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．
（1）若PB=
，求PA；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
已知抛物线
的焦点
也是椭圆
的一个焦点，
与
的公共弦的长为
．
（1）求的方程；
（2）过点的直线
与相交于
，
两点，与相交于
，
两点，且
与
同向．
（ⅰ）若
，求直线的斜率；
（ⅱ）设在点处的切线与
轴的交点为
，证明：直线绕点旋转时，
总是钝角三角形．