已知抛物线ymx2n向下平移2个单位后得到的函数图像是y3x-优题课

先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 1} - 1) \div \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ ， $B$ 两点且与 $x$ 轴的负半轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点 $D$ 为直线 $AB$ 上方抛物线上的一个动点，当 $∠ ABD = 2 ∠ BAC$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）已知 $E$ ， $F$ 分别是直线 $AB$ 和抛物线上的动点，当以 $B$ ， $O$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的 $E$ 点的坐标．

定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

（1）如图1，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ ABC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ， $CD$ ．

求证：四边形 $ABCD$ 是等补四边形；

探究：

（2）如图2，在等补四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ，连接 $AC$ ， $AC$ 是否平分 $∠ BCD$ ？请说明理由．

运用：

（3）如图3，在等补四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ，其外角 $∠ EAD$ 的平分线交 $CD$ 的延长线于点 $F$ ， $CD = 10$ ， $AF = 5$ ，求 $DF$ 的长．

某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第 $x$ 天的生产成本 $y$ （元 $/$ 件）与 $x$ （天 $)$ 之间的关系如图所示，第 $x$ 天该产品的生产量 $z$ （件 $)$ 与 $x$ （天 $)$ 满足关系式 $z = - 2 x + 120$ ．

（1）第40天，该厂生产该产品的利润是　　元；

（2）设第 $x$ 天该厂生产该产品的利润为 $w$ 元．

①求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？

②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 为 $AB$ 的中点，以 $CD$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $AC$ ， $BC$ 于点 $E$ ， $F$ 两点，过点 $F$ 作 $FG ⊥ AB$ 于点 $G$ ．

（1）试判断 $FG$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

（2）若 $AC = 3$ ， $CD = 2.5$ ，求 $FG$ 的长．