姚明作为我国最优秀的篮球运动员转会至美国NBA，一方面推动我-优题课

我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 $AB$ 摆成如图1所示．已知 $AB = 4.8 m$ ，鱼竿尾端 $A$ 离岸边 $0.4 m$ ，即 $AD = 0.4 m$ ．海面与地面 $AD$ 平行且相距 $1.2 m$ ，即 $DH = 1.2 m$ ．

（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 $BC$ 与海面 $HC$ 的夹角 $∠ BCH = 37 °$ ，海面下方的鱼线 $CO$ 与海面 $HC$ 垂直，鱼竿 $AB$ 与地面 $AD$ 的夹角 $∠ BAD = 22 °$ ．求点 $O$ 到岸边 $DH$ 的距离；

（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 $∠ BAD = 53 °$ ，此时鱼线被拉直，鱼线 $BO = 5.46 m$ ，点 $O$ 恰好位于海面．求点 $O$ 到岸边 $DH$ 的距离．

（参考数据： $\sin 37 ° = \cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° = \sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\sin 22 ° \approx \frac{3}{8}$ ， $\cos 22 ° \approx \frac{15}{16}$ ， $\tan 22 ° \approx \frac{2}{5})$

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以点 $C$ 为圆心， $CB$ 为半径作 $⊙ C$ ， $D$ 为 $⊙ C$ 上一点，连接 $AD$ 、 $CD$ ， $AB = AD$ ， $AC$ 平分 $∠ BAD$ ．

（1）求证： $AD$ 是 $⊙ C$ 的切线；

（2）延长 $AD$ 、 $BC$ 相交于点 $E$ ，若 $S_{ΔEDC} = 2 S_{ΔABC}$ ，求 $\tan ∠ BAC$ 的值．

为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶 $A$ 型消毒液和3瓶 $B$ 型消毒液共需41元，5瓶 $A$ 型消毒液和2瓶 $B$ 型消毒液共需53元．

（1）这两种消毒液的单价各是多少元？

（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且 $B$ 型消毒液的数量不少于 $A$ 型消毒液数量的 $\frac{1}{3}$ ，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．

如图，点 $C$ 是 $BE$ 的中点，四边形 $ABCD$ 是平行四边形．

（1）求证：四边形 $ACED$ 是平行四边形；

（2）如果 $AB = AE$ ，求证：四边形 $ACED$ 是矩形．

为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．

（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是　　；

（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．