如图，RtΔABC中，∠ABC90°，以点C为圆心，CB为半-优题课

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以点 $C$ 为圆心， $CB$ 为半径作 $⊙ C$ ， $D$ 为 $⊙ C$ 上一点，连接 $AD$ 、 $CD$ ， $AB = AD$ ， $AC$ 平分 $∠ BAD$ ．

（1）求证： $AD$ 是 $⊙ C$ 的切线；

（2）延长 $AD$ 、 $BC$ 相交于点 $E$ ，若 $S_{ΔEDC} = 2 S_{ΔABC}$ ，求 $\tan ∠ BAC$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：锐角三角函数的定义相似三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质切线的判定

某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书 $x$ 套，乙种图书 $y$ 套，请解答下列问题：

（1）请求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；

（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？

（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调 $a (a$ 为正整数）元，丙种图书的售价下调 $a$ 元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及 $a$ 的值．

在等腰 $ΔABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $AM$ 是 $ΔABC$ 的角平分线，过点 $M$ 作 $MN ⊥ AC$ 于点 $N$ ， $∠ EMF = 135 °$ ．将 $∠ EMF$ 绕点 $M$ 旋转，使 $∠ EMF$ 的两边交直线 $AB$ 于点 $E$ ，交直线 $AC$ 于点 $F$ ，请解答下列问题：

（1）当 $∠ EMF$ 绕点 $M$ 旋转到如图①的位置时，求证： $BE + CF = BM$ ；

（2）当 $∠ EMF$ 绕点 $M$ 旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段 $BE$ ， $CF$ ， $BM$ 之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下， $\tan ∠ BEM = \sqrt{3}$ ， $AN = \sqrt{2} + 1$ ，则 $BM =$ 　　， $CF =$ 　　．

在一条笔直的公路上依次有 $A$ ， $C$ ， $B$ 三地，甲、乙两人同时出发，甲从 $A$ 地骑自行车去 $B$ 地，途经 $C$ 地休息1分钟，继续按原速骑行至 $B$ 地，甲到达 $B$ 地后，立即按原路原速返回 $A$ 地；乙步行从 $B$ 地前往 $A$ 地．甲、乙两人距 $A$ 地的路程 $y$ （米 $)$ 与时间 $x$ （分 $)$ 之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）请写出甲的骑行速度为　　米 $/$ 分，点 $M$ 的坐标为　　；

（2）求甲返回时距 $A$ 地的路程 $y$ 与时间 $x$ 之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）请直接写出两人出发后，在甲返回 $A$ 地之前，经过多长时间两人距 $C$ 地的路程相等．

某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为 $2 : 1$ ，请结合统计图解答下列问题：

（1）本次活动抽查了　名学生；

（2）请补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是　　度；

（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？

在四边形 $ABCD$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $AB = 3$ ， $BC = 4$ ， $CD = 1$ ．以 $AD$ 为腰作等腰 $ΔADE$ ，使 $∠ ADE = 90 °$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ DC$ 交直线 $CD$ 于点 $F$ ．请画出图形，并直接写出 $AF$ 的长．