在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方-优题课

以 $A$ 表示值域为R的函数组成的集合， $B$ 表示具有如下性质的函数 $φ (x)$ 组成的集合：对于函数 $φ (x)$ ，存在一个正数 $M$ ，使得函数 $φ (x)$ 的值域包含于区间 $[- M, M]$ .例如，当 $φ_{1} (x^{}) = x^{3}$ ， $φ (x) = \sin x$ 时， $φ_{1} (x) \in A$ ， $φ_{2} (x) \in B$ .现有如下命题：
①设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，则" $f (x) \in A$ "的充要条件是" $\forall b \in R$ ， $\exists a \in D$ ， $f (a) = b$ "；
②函数 $f (x) \in B$ 的充要条件是 $f (x)$ 有最大值和最小值；
③若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域相同，且， $g (x) \in B$ ，则 $f (x) + g (x) \notin B$ ；
④若函数 $f (x) = a \ln (x + 2) + \frac{x}{x^{2} + 1}$ （ $x > - 2$ ， $a \in R$ ）有最大值，则 $f (x) \in B$ .
其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）

设 $m \in R$ ,过定点 $A$ 的动直线 $x + m y = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ，则 $|P A| \cdot |P B|$ 的最大值是.

如图，从气球 $A$ 上测得正前方的河流的两岸 $B, C$ 的俯角分别为 $67^{°}, 30^{°}$ ，此时气球的高是 $46 m$ ，则河流的宽度 $B C$ 约等于 $m$ .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据： $\sin 67^{°} \approx 0.92, \cos 67^{°} \approx 0.39, \sin 37^{°} \approx 0.60, \cos 37^{°} \approx 0.80, \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期为2的函数，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = \{\begin{cases} - 4 x^{2} + 2, - 1 \leq x \leq 0, \\ x, 0 \leq x \leq 1, \end{cases}$ ，则 $f (\frac{3}{2}) =$ .

复数 $\frac{2 - 2 i}{1 + i} =$ .