作图说明到点O的距离大于2cm而小于3cm的所有点组成的图形-优题课

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在 $ΔABC$ 中， $CD$ 为角平分线， $∠ A = 40 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，求证： $CD$ 为 $ΔABC$ 的完美分割线．

（2）在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 48 °$ ， $CD$ 是 $ΔABC$ 的完美分割线，且 $ΔACD$ 为等腰三角形，求 $∠ ACB$ 的度数．

（3）如图2， $ΔABC$ 中， $AC = 2$ ， $BC = \sqrt{2}$ ， $CD$ 是 $ΔABC$ 的完美分割线，且 $ΔACD$ 是以 $CD$ 为底边的等腰三角形，求完美分割线 $CD$ 的长．

某商场销售 $A$ ， $B$ 两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示

该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．

（1）该商场计划购进 $A$ ， $B$ 两种品牌的教学设备各多少套？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少 $A$ 种设备的购进数量，增加 $B$ 种设备的购进数量，已知 $B$ 种设备增加的数量是 $A$ 种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问 $A$ 种设备购进数量至多减少多少套？

如图，已知 $⊙ O$ 的直径 $AB = 10$ ，弦 $AC = 6$ ， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）求 $DE$ 的长．

如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + mx + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(3, 0)$

（1）求 $m$ 的值及抛物线的顶点坐标．

（2）点 $P$ 是抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，当 $PA + PC$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标．

为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出） $:$

根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次被调查的学生人数．

（2）将条形统计图补充完整．

（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数．