(本小题满分14分)以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭-优题课

题文

(本小题满分14分)
以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.
（Ⅰ）求椭圆及其“准圆”的方程；
（Ⅱ）若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，试证明：当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ .过点 $(m, 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线l交椭圆 $G$ 于 $A, B$ 两点.
（I）求椭圆 $G$ 的焦点坐标和离心率；
（II）将 $|A B|$ 表示为 $m$ 的函数，并求 $|A B|$ 的最大值.

已知函数 $f (x) = (x - k)^{2} e^{\frac{x}{k}}$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x) \leq \frac{1}{e}$ ，求 $k$ 的取值范围.

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 $X$ 表示。

（Ⅰ）如果 $X = 8$ ,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果 $X = 9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
（注：方差 $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…… $x_{n}$ 的平均数）

如图,在四棱锥 $P - A B C D$ 中, $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ,底面 $A B C D$ 是菱形, $A B = 2, ∠ B A D = 60^{°}$ .

(Ⅰ)求证: $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ;

(Ⅱ)若 $P A = A B$ ,求 $P B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值；
(Ⅲ)当平面 $P B C$ 与平面 $P D C$ 垂直时,求 $P A$ 的长.

已知函数 $f (x) = 4 \cos x \sin (x + \frac{π}{6}) - 1$ 。
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期：
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值。

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