在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE＝
∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
⑴ 若ABCD为正方形，
① 如图⑴，当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到？证明你的结论；
② 结合图⑵求
的值；
⑵ 如图⑶，若ABCD为菱形，记∠BCA＝
，请探究并直接写出的值．（用含的式子表示）
(本题满分12分)
如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
(1) 填空：∠ABC＝___________°，BC＝_________；
(2) 判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．
(本题满分10分)
已知
，
，求
的值．
如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK______MK（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK______MK（只填“＞”或“＜”）；（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK______MK（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由；
（3）如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF的度数和
的值．
光明中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？
（2）根据光明中学实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的
．请你通过计算，求出光明中学从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？
长方形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，并使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E点．
（1）找出图中与PA相等的线段．并说明理由．
（2）若点E为CD的三等分点，且BC=6，求BP的长.