（1）先化简，再求值，其中满足；（2）已知多项式，其中，小马-优题课

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 4, 0)$ ， $B (1, 0)$ 两点，过点 $B$ 的直线 $y = kx + \frac{2}{3}$ 分别与 $y$ 轴及抛物线交于点 $C$ ， $D$ ．

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点 $P$ 从点 $O$ 出发，在 $x$ 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时， $ΔPDC$ 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的 $t$ 的值；

（3）如图2，将直线 $BD$ 沿 $y$ 轴向下平移4个单位后，与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $E$ ， $F$ 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点 $M$ ，在直线 $EF$ 上是否存在点 $N$ ，使 $DM + MN$ 的值最小？若存在，求出其最小值及点 $M$ ， $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点 $P$ 是正方形 $ABCD$ 内一点， $PA = 1$ ， $PB = 2$ ， $PC = 3$ ．你能求出 $∠ APB$ 的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将 $ΔBPC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到△ $BP' A$ ，连接 $PP'$ ，求出 $∠ APB$ 的度数；

思路二：将 $ΔAPB$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到△ $C P^{'} B$ ，连接 $PP'$ ，求出 $∠ APB$ 的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

【类比探究】

如图2，若点 $P$ 是正方形 $ABCD$ 外一点， $PA = 3$ ， $PB = 1$ ， $PC = \sqrt{11}$ ，求 $∠ APB$ 的度数．

如图，已知 $D$ ， $E$ 分别为 $ΔABC$ 的边 $AB$ ， $BC$ 上两点，点 $A$ ， $C$ ， $E$ 在 $⊙ D$ 上，点 $B$ ， $D$ 在 $⊙ E$ 上． $F$ 为 $\hat{BD}$ 上一点，连接 $FE$ 并延长交 $AC$ 的延长线于点 $N$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ．

（1）若 $∠ EBD$ 为 $α$ ，请将 $∠ CAD$ 用含 $α$ 的代数式表示；

（2）若 $EM = MB$ ，请说明当 $∠ CAD$ 为多少度时，直线 $EF$ 为 $⊙ D$ 的切线；

（3）在（2）的条件下，若 $AD = \sqrt{3}$ ，求 $\frac{MN}{MF}$ 的值．

为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为 $A$ ， $B$ 两种不同款型，其中 $A$ 型车单价400元， $B$ 型车单价320元．

（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放 $A$ ， $B$ 两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的 $A$ 型车与 $B$ 型车各多少辆？

（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中 $A$ ， $B$ 两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有 $A$ 型车与 $B$ 型车各多少辆？

汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路 $l$ ，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米 $/$ 小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在 $l$ 上确定 $A$ ， $B$ 两点，并在 $AB$ 路段进行区间测速．在 $l$ 外取一点 $P$ ，作 $PC ⊥ l$ ，垂足为点 $C$ ．测得 $PC = 30$ 米， $∠ APC = 71 °$ ， $∠ BPC = 35 °$ ．上午9时测得一汽车从点 $A$ 到点 $B$ 用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70$ ， $\sin 71 ° \approx 0.95$ ， $\cos 71 ° \approx 0.33$ ， $\tan 71 ° \approx 2.90)$