如图，已知DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，∠1＝∠2，-优题课

如图1， $O$ 为半圆的圆心， $C$ 、 $D$ 为半圆上的两点，且 $\hat{BD} = \hat{CD}$ ．连接 $AC$ 并延长，与 $BD$ 的延长线相交于点 $E$ ．

（1）求证： $CD = ED$ ；

（2） $AD$ 与 $OC$ ， $BC$ 分别交于点 $F$ ， $H$ ．

①若 $CF = CH$ ，如图2，求证： $CF \cdot AF = FO \cdot AH$ ；

②若圆的半径为2， $BD = 1$ ，如图3，求 $AC$ 的值．

二次函数 $y = a x^{2} + bx + 4 (a \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 4, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $BP$ 、 $AC$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $BC$ ，当 $∠ DPB = 2 ∠ BCO$ 时，求直线 $BP$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{PQ}{QB}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

四边形 $ABCD$ 为矩形， $E$ 是 $AB$ 延长线上的一点．

（1）若 $AC = EC$ ，如图1，求证：四边形 $BECD$ 为平行四边形；

（2）若 $AB = AD$ ，点 $F$ 是 $AB$ 上的点， $AF = BE$ ， $EG ⊥ AC$ 于点 $G$ ，如图2，求证： $ΔDGF$ 是等腰直角三角形．

接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．

（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？

（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？

如图，点 $P$ 为函数 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 图象的交点，点 $P$ 的纵坐标为4， $PB ⊥ x$ 轴，垂足为点 $B$ ．

（1）求 $m$ 的值；

（2）点 $M$ 是函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 图象上一动点，过点 $M$ 作 $MD ⊥ BP$ 于点 $D$ ，若 $\tan ∠ PMD = \frac{1}{2}$ ，求点 $M$ 的坐标．