如图1，已知双曲线与直线交于A,B两点，点A在第一象限.试解-优题课

如图1，已知双曲线与直线交于A,B两点，点A在第一象限.试解答下列问题:
⑴若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为           ；
⑵当x满足：                        时，；
⑶过原点O作另一条直线l，交双曲线于P,Q两点，点P在第一象限，如图2所示.
①四边形APBQ一定是                  ；
② 若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积；

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行线分线段成比例

为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生 $(3$ 名男生，2名女生）获奖．

（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为　　．

（2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．

某校要了解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每天的课外阅读时间 $x$ （单位： $\min)$ 进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的统计图表，根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查共抽取　　名学生．

（2）统计表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　．

（3）将频数分布直方图补充完整．

（4）若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于 $45 \min$ 的有多少人．

课外阅读时间 $x / \min$	频数 $/$ 人	频率
$0 ⩽ x < 15$	6	0.1
$15 ⩽ x < 30$	12	0.2
$30 ⩽ x < 45$	$a$	0.25
$45 ⩽ x < 60$	18	$b$
$60 ⩽ x < 75$	9	0.15

如图，四边形 $ABCD$ 为平行四边形， $∠ BAD$ 和 $∠ BCD$ 的平分线 $AE$ ， $CF$ 分别交 $DC$ ， $BA$ 的延长线于点 $E$ ， $F$ ，交边 $BC$ ， $AD$ 于点 $H$ ， $G$ ．

（1）求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形．

（2）若 $AB = 5$ ， $BC = 8$ ，求 $AF + AG$ 的值．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ，将 $ΔOBC$ 沿 $BC$ 所在的直线翻折，得到 $ΔDBC$ ，连接 $OD$ ．

（1）用含 $a$ 的代数式表示点 $C$ 的坐标．

（2）如图1，若点 $D$ 落在抛物线的对称轴上，且在 $x$ 轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设 $ΔOBD$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔOAC$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2}{3}$ ，求 $a$ 的值．

如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $M$ 是 $AB$ 的中点，连接 $MC$ ，点 $P$ 是线段 $BC$ 延长线上一点，且 $PC < BC$ ，连接 $MP$ 交 $AC$ 于点 $H$ ．将射线 $MP$ 绕点 $M$ 逆时针旋转 $60 °$ 交线段 $CA$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）找出与 $∠ AMP$ 相等的角，并说明理由．

（2）如图2， $CP = \frac{1}{2} BC$ ，求 $\frac{AD}{BC}$ 的值．

（3）在（2）的条件下，若 $MD = \frac{\sqrt{13}}{3}$ ，求线段 $AB$ 的长．