（1）计算：；（2）已知的值．-优题课

某市为了加快 $5 G$ 网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点 $A$ 测得发射塔顶端 $P$ 点的仰角是 $45 °$ ，向前走60米到达 $B$ 点测得 $P$ 点的仰角是 $60 °$ ，测得发射塔底部 $Q$ 点的仰角是 $30 °$ ．请你帮小军计算出信号发射塔 $PQ$ 的高度．（结果精确到0.1米， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

（1）尺规作图：作 $Rt Δ ABC$ 的外接圆 $⊙ O$ ；作 $∠ ACB$ 的角平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若 $AC = 6$ ， $BC = 8$ ，求 $AD$ 的长．

化简求值： $(\frac{a - 1}{a} - \frac{a - 2}{a + 1}) \div \frac{2 a^{2} - a}{a^{2} + 2 a + 1}$ ；其中 $a^{2} - a - 1 = 0$ ．

计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + | 1 - \sqrt{3} \tan 45 ° | + {(π - 3.14)}^{0} - \sqrt[3]{27}$ ．

如图（1）放置两个全等的含有 $30 °$ 角的直角三角板 $ABC$ 与 $DEF (∠ B = ∠ E = 30 °)$ ，若将三角板 $ABC$ 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点 $C$ 与点 $E$ 重合时移动终止），移动过程中始终保持点 $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一条直线上，如图（2）， $AB$ 与 $DF$ 、 $DE$ 分别交于点 $P$ 、 $M$ ， $AC$ 与 $DE$ 交于点 $Q$ ，其中 $AC = DF = \sqrt{3}$ ，设三角板 $ABC$ 移动时间为 $x$ 秒．

（1）在移动过程中，试用含 $x$ 的代数式表示 $ΔAMQ$ 的面积；

（2）计算 $x$ 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？