解方程组：-优题课

小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部 $B$ ，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点 $D$ ，并在点 $D$ 处安装了测量器 $DC$ ，测得古树的顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ；再在 $BD$ 的延长线上确定一点 $G$ ，使 $DG = 5$ 米，并在 $G$ 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 $BG$ 方向移动，当移动到点 $F$ 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 $A$ 的像，此时，测得 $FG = 2$ 米，小明眼睛与地面的距离 $EF = 1.6$ 米，测倾器的高度 $CD = 0.5$ 米．已知点 $F$ 、 $G$ 、 $D$ 、 $B$ 在同一水平直线上，且 $EF$ 、 $CD$ 、 $AB$ 均垂直于 $FB$ ，求这棵古树的高度 $AB$ ．（小平面镜的大小忽略不计）

本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量” $)$ 进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：

根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为　．

（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；

（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为多杀本的学生人数．

如图，点 $A$ ， $E$ ， $F$ ， $B$ 在直线 $l$ 上， $AE = BF$ ， $AC / / BD$ ，且 $AC = BD$ ，求证： $CF = DE$ ．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $AD$ 是 $BC$ 边上的高．请用尺规作图法，求作 $ΔABC$ 的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）

问题提出

（1）如图①，已知直线 $l$ 及 $l$ 外一点 $A$ ，试在直线 $l$ 上确定 $B$ 、 $C$ 两点，使 $∠ BAC = 90 °$ ，并画出这个 $Rt Δ ABC$ ．

问题探究

（2）如图②， $O$ 是边长为28的正方形 $ABCD$ 的对称中心， $M$ 是 $BC$ 边上的中点，连接 $OM$ ．试在正方形 $ABCD$ 的边上确定点 $N$ ，使线段 $ON$ 和 $OM$ 将正方形 $ABCD$ 分割成面积之比为 $1 : 6$ 的两部分．求点 $N$ 到点 $M$ 的距离．

问题解决

（3）如图③，有一个矩形花园 $ABCD$ ， $AB = 30 m$ ， $BC = 40 m$ ．根据设计要求，点 $E$ 、 $F$ 在对角线 $BD$ 上，且 $∠ EAF = 60 °$ ，并在四边形区域 $AECF$ 内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7)$