因式分解（1）3ax6ay（2）25m2﹣4n2（3）3a2-优题课

如图，在▱ABCD中， $A B ＝ 4$ ， $A D ＝ B D = \sqrt{13}$ ，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线 $A D ﹣ D B$ 以每秒 $\sqrt{13}$ 个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点 $A `$ ，连结 $A ` P$ 、 $A ` M$ ．设点P的运动时间为t秒，

（1）点D到边AB的距离为　　；

（2）用含t的代数式表示线段DP的长；

（3）连结 $A ` D$ ，当线段 $A ` D$ 最短时，求 $△ D P A `$ 的面积；

（4）当 $M$ 、 $A `$ 、 $C$ 三点共线时，直接写出t的值．

【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 $A D = \sqrt{2} A B$ ．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 $△ A D G ≌ △ A F G$ ．

【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴ $∠ B A D ＝ ∠ B ＝ ∠ C ＝ ∠ D ＝ 90 °$ ．

由折叠可知， $∠ B A F = \frac{1}{2} ∠ B A D ＝ 45 °$ ， $∠ B F A ＝ ∠ E F A$ ．

∴ $∠ E F A ＝ ∠ B F A ＝ 45 °$ ．

∴ $A F = \sqrt{2} A B = A D$

请你补全余下的证明过程．

【结论应用】

（1）∠DAG的度数为　　度， $\frac{FG}{AF}$ 的值为　　；

（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP $= \frac{1}{2}$ AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设 $A B ＝ a$ ，则 $F Q + P Q$ 的最小值为　　．（用含a的代数式表示）

已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．

（1）m＝　　，n＝　　；

（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；

（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．

党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．

根据以上信息回答下列问题：

（1）长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是　　年；

（2）长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是　　；

（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了　　件，专利授权量年增长率提高了　　个百分点；（注：1%为1个百分点）

（4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．

①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小．　　

②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率 $= \frac{当年专利授权量 - 上一年专利授权量}{上一年专利授权量} \times 100 %$ ，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．　　

③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量．　　

如图，在Rt△ABC中， $∠ A B C ＝ 90 °$ ， $A B ＜ B C$ ．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若 $\frac{BE}{EC} = \frac{1}{4}$ ，则 $\tan ∠ B C F$ 的值为　　．