八年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后，发现可将-优题课

八年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等等．请你参与这个学习小组，一同探索这类问题：

（1）写出判定菱形相似的一种判定方法：若有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似；
（2）如图，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；
（3）若AC=，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m - 3) x - m = 0$

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两实根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 7$ ，求 $m$ 的值．

如图， $DE ⊥ AB$ ， $CF ⊥ AB$ ，垂足分别是点 $E$ 、 $F$ ， $DE = CF$ ， $AE = BF$ ，求证： $AC / / BD$ ．

在“弘扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划开展四项活动：“ $A -$ 国学诵读”、“ $B -$ 演讲”、“ $C -$ 课本剧”、“ $D -$ 书法”，要求每位同学必须且只能参加其中一项活动，学校为了了解学生的意愿，随机调查了部分学生，结果统计如下：

（1）如图，希望参加活动 $C$ 占 $20 %$ ，希望参加活动 $B$ 占 $15 %$ ，则被调查的总人数为　　人，扇形统计图中，希望参加活动 $D$ 所占圆心角为　　度，根据题中信息补全条形统计图．

（2）学校现有800名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动 $A$ 有多少人？

如图，已知 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $M$ 从点 $C$ 出发沿 $CB$ 方向以 $1 cm / s$ 的速度匀速运动，到达点 $B$ 停止运动，在点 $M$ 的运动过程中，过点 $M$ 作直线 $MN$ 交 $AC$ 于点 $N$ ，且保持 $∠ NMC = 45 °$ ，再过点 $N$ 作 $AC$ 的垂线交 $AB$ 于点 $F$ ，连接 $MF$ ．将 $ΔMNF$ 关于直线 $NF$ 对称后得到 $ΔENF$ ，已知 $AC = 8 cm$ ， $BC = 4 cm$ ，设点 $M$ 运动时间为 $t (s)$ ， $ΔENF$ 与 $ΔANF$ 重叠部分的面积为 $y (c m^{2})$ ．

（1）在点 $M$ 的运动过程中，能否使得四边形 $MNEF$ 为正方形？如果能，求出相应的 $t$ 值；如果不能，说明理由；

（2）求 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式及相应 $t$ 的取值范围；

（3）当 $y$ 取最大值时，求 $\sin ∠ NEF$ 的值．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象的顶点坐标是 $(2, 1)$ ，并且经过点 $(4, 2)$ ，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与抛物线交于 $B$ ， $D$ 两点，以 $BD$ 为直径作圆，圆心为点 $C$ ，圆 $C$ 与直线 $m$ 交于对称轴右侧的点 $M (t, 1)$ ，直线 $m$ 上每一点的纵坐标都等于1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：圆 $C$ 与 $x$ 轴相切；

（3）过点 $B$ 作 $BE ⊥ m$ ，垂足为 $E$ ，再过点 $D$ 作 $DF ⊥ m$ ，垂足为 $F$ ，求 $BE : MF$ 的值．

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