如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，-优题课

如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于多少？（结果保留根号）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

如图，过 $▱ ABCD$ 对角线 $AC$ 与 $BD$ 的交点 $E$ 作两条互相垂直的直线，分别交边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ 于点 $P$ 、 $M$ 、 $Q$ 、 $N$ ．

（1）求证： $ΔPBE ≅ ΔQDE$ ；

（2）顺次连接点 $P$ 、 $M$ 、 $Q$ 、 $N$ ，求证：四边形 $PMQN$ 是菱形．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x - 1$ 与直线 $y = - 2 x + 2$ 相交于点 $P$ ，并分别与 $x$ 轴相交于点 $A$ 、 $B$ ．

（1）求交点 $P$ 的坐标；

（2）求 $ΔPAB$ 的面积；

（3）请把图象中直线 $y = - 2 x + 2$ 在直线 $y = - \frac{1}{2} x - 1$ 上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量 $x$ 的取值范围．

先化简，再求值： $1 - \frac{y - x}{x + 2 y} \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 4 xy + 4 y^{2}}$ ；其中 $x = \cos 30 ° \times \sqrt{12}$ ， $y = {(π - 3)}^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ A = ∠ C = 90 °$ ， $DE$ ， $BF$ 分别平分 $∠ ADC$ ， $∠ ABC$ ，并交线段 $AB$ ， $CD$ 于点 $E$ ， $F$ （点 $E$ ， $B$ 不重合）．在线段 $BF$ 上取点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在 $BN$ 之间），使 $BM = 2 FN$ ．当点 $P$ 从点 $D$ 匀速运动到点 $E$ 时，点 $Q$ 恰好从点 $M$ 匀速运动到点 $N$ ．记 $QN = x$ ， $PD = y$ ，已知 $y = - \frac{6}{5} x + 12$ ，当 $Q$ 为 $BF$ 中点时， $y = \frac{24}{5}$ ．

（1）判断 $DE$ 与 $BF$ 的位置关系，并说明理由．

（2）求 $DE$ ， $BF$ 的长．

（3）若 $AD = 6$ ．

①当 $DP = DF$ 时，通过计算比较 $BE$ 与 $BQ$ 的大小关系．

②连结 $PQ$ ，当 $PQ$ 所在直线经过四边形 $ABCD$ 的一个顶点时，求所有满足条件的 $x$ 的值．

某经销商3月份用18000元购进一批 $T$ 恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的 $T$ 恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．

（1）4月份进了这批 $T$ 恤衫多少件？

（2）4月份，经销商将这批 $T$ 恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出 $a$ 件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出 $a$ 件，然后将 $b$ 件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．

①用含 $a$ 的代数式表示 $b$ ．

②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．