在△ABC中，∠BAC90°，AB＜AC，M是BC边的中点，-优题课

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ丄MP．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由：
（2）若∠ABC=60°，AB=4厘米．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

如图，在 $▱ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 的直线 $EF$ 与 $BA$ 、 $DC$ 的延长线分别交于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $AE = CF$ ；

（2）请再添加一个条件，使四边形 $BFDE$ 是菱形，并说明理由．

先化简，再求值： $\frac{m^{3} - 2 m^{2}}{m^{2} - 4 m + 4} \div (\frac{9}{m - 3} + m + 3)$ ，其中 $m$ 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且 $m$ 是整数．

计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + \tan 60 ° - | 2 - \sqrt{3} | + {(π - 3)}^{0} - \sqrt{12}$ ．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ 和 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴为直线 $x = \frac{5}{2}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$ 是线段 $BC$ 上的一个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交抛物线于点 $Q$ ，连接 $OQ$ ，当线段 $PQ$ 长度最大时，判断四边形 $OCPQ$ 的形状并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下， $D$ 是 $OC$ 的中点，过点 $Q$ 的直线与抛物线交于点 $E$ ，且 $∠ DQE = 2 ∠ ODQ$ ．在 $y$ 轴上是否存在点 $F$ ，得 $ΔBEF$ 为等腰三角形？若存在，求点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 边 $AD$ 上，点 $F$ 是线段 $AB$ 上的动点（不与点 $A$ 重合）， $DF$ 交 $AC$ 于点 $G$ ， $GH ⊥ AD$ 于点 $H$ ， $AB = 1$ ， $DE = \frac{1}{3}$ ．

（1）求 $\tan ∠ ACE$ ；

（2）设 $AF = x$ ， $GH = y$ ，试探究 $y$ 与 $x$ 的函数关系式（写出 $x$ 的取值范围）；

（3）当 $∠ ADF = ∠ ACE$ 时，判断 $EG$ 与 $AC$ 的位置关系并说明理由．

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