如图.AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、-优题课

如图.AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB=90°。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (0, 3)$ 三点， $D$ 为直线 $BC$ 上方抛物线上一动点， $DE ⊥ BC$ 于 $E$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，求线段 $DE$ 长度的最大值；

（3）如图2，设 $AB$ 的中点为 $F$ ，连接 $CD$ ， $CF$ ，是否存在点 $D$ ，使得 $ΔCDE$ 中有一个角与 $∠ CFO$ 相等？若存在，求点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $A$ 、 $B$ 是 $⊙ O$ 上两点， $ΔOAB$ 外角的平分线交 $⊙ O$ 于另一点 $C$ ， $CD ⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于 $D$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2） $E$ 为 $\hat{AB}$ 的中点， $F$ 为 $⊙ O$ 上一点， $EF$ 交 $AB$ 于 $G$ ，若 $\tan ∠ AFE = \frac{3}{4}$ ， $BE = BG$ ， $EG = 3 \sqrt{10}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．

（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；

（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？

已知 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 分别是 $AB$ 、 $AC$ 的中点，将 $ΔADE$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转一个角度 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到△ $A D^{'} E'$ ，连接 $BD'$ 、 $CE'$ ，如图 1 ．

（1）求证： $BD' = C E^{'}$ ；

（2）如图 2 ，当 $α = 60 °$ 时，设 $AB$ 与 $D' E'$ 交于点 $F$ ，求 $\frac{BF}{FA}$ 的值．

在小水池旁有一盏路灯，已知支架 $AB$ 的长是 $0.8 m$ ， $A$ 端到地面的距离 $AC$ 是 $4 m$ ，支架 $AB$ 与灯柱 $AC$ 的夹角为 $65 °$ ．小明在水池的外沿 $D$ 测得支架 $B$ 端的仰角是 $45 °$ ，在水池的内沿 $E$ 测得支架 $A$ 端的仰角是 $50 °$ （点 $C$ 、 $E$ 、 $D$ 在同一直线上），求小水池的宽 $DE$ ．（结果精确到 $0.1 m) (\sin 65 ° \approx 0.9$ ， $\cos 65 ° \approx 0.4$ ， $\tan 50 ° \approx 1.2)$

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