如图，正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为8，E、F分别为-优题课

题文

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁棱长为8，E、F分别为AD₁，CD₁中点，G、H分别为棱DA，DC上动点，且EH⊥FG．

（1）求GH长的取值范围；
（2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；并求出此时EH与FG的交点P到直线的距离.

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如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ .点 $P$ 为直线 $l : x + y = 2$ 上且不在 $x$ 轴上的任意一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与椭圆的交点分别为 $A, B$ 和 $C, D$ ， $O$ 为坐标原点.

（I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线 $P F_{1}$ 、 $P F_{2}$ 的斜线分别为 $k_{1}, k_{2}$ .
（i）证明： $\frac{1}{k_{1}} - \frac{3}{k_{2}} = 2$ ；
（ii）问直线 $l$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $O A, O B, O C, O D$ 的斜率 $k_{O A}, k_{O B}, k_{O C}, k_{O D}$ 满足 $k_{O A} + k_{O B} + k_{O C} + k_{O D} = 0$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $M A ⊥ 平面 A B C D$ ， $P D / / M A$ ， $E$ 、 $G$ 、 $F$ 分别为 $M B$ 、 $P B$ 、 $P C$ 的中点，且 $A D = P D = 2 M A$ .

（I）求证： $平面 E F G ⊥ 平面 P D C$ ；

（Ⅱ）求三棱锥 $P - M A B$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 的体积之比。

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 $m$ ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 $n$ ，求 $n < m + 2$ 的概率.

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球,该球的编号为 $m$ ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 $n$ ,求 $n < m + 2$ 的概率.

．（本小题满分12分）在右图所示的多面体中，
下部为正方体, 点在的延长线上，
且，、分别为和的重心．
（１）已知为棱上任意一点，求证：∥面；
（２）求二面角的大小．　　

　　

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