如图，抛物线经过点A(1，0)，与轴交于点B.（1）求抛物线-优题课

如图，抛物线经过点A(1，0)，与轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若P是坐标轴上一点，且三角形PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标.

科目数学题型解答题难度较易

知识点：二次函数在给定区间上的最值

先化简，再求值： ${(2 x + y)}^{2} + {(x + 2 y)}^{2} - x (x + y) - 2 (x + 2 y) (2 x + y)$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ， $y = \sqrt{2} - 1$ ．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + kx - 2 k$ 的顶点为 $N$ ．

（1）若此抛物线过点 $A (- 3, 1)$ ，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若抛物线与 $y$ 轴交于点 $B$ ，连接 $AB$ ， $C$ 为抛物线上一点，且位于线段 $AB$ 的上方，过 $C$ 作 $CD$ 垂直 $x$ 轴于点 $D$ ， $CD$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，若 $CE = ED$ ，求点 $C$ 坐标；

（3）已知点 $M (2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ， $0)$ ，且无论 $k$ 取何值，抛物线都经过定点 $H$ ，当 $∠ MHN = 60 °$ 时，求抛物线的解析式．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $O$ 为 $AB$ 上一点，经过点 $A$ 、 $D$ 的 $⊙ O$ 分别交 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BE = 8$ ， $\sin B = \frac{5}{13}$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（3）求证： $A D^{2} = AB \cdot AF$ ．

我国传统数学名著《九章算术》记载："今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？"译文："假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？"根据以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．

我市将面向全市中小学开展"经典诵读"比赛．某中学要从2名男生2名女生共4名学生中选派2名学生参赛．

（1）请列举所有可能出现的选派结果；

（2）求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率．