经市场调查：生产某产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，-优题课

题文

经市场调查：生产某产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元），在年产量不小于8万件时，（万元）. 通过市场分析，每件产品售价为5元时，生产的商品能当年全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本）
（2）年产量为多少万件时,在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 x$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）设 $g (x) = f (2 x) - 4 b f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $g (x) > 0$ ,求 $b$ 的最大值；
（3）已知 $1.4142 < \sqrt{2} < 1.4143$ ，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到0.001）.

设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点， $M$ 是 $C$ 上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ .
（1）若直线 $M N$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 $C$ 的离心率；
（2）若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为2，且 $|M N| = 5 |F_{1} N|$ ，求 $a, b$ .

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入 $y$ （单位：千元）的数据如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号 $t$	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入 $y$	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥ 平面 A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.
（1）证明： $P B ∥ 平面 A E C$ ；
（2）设二面角 $D - A E - C$ 为60°， $A P = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，求三棱锥 $E - A C D$ 的体积.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$
（1）证明 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . . . . + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{2}$ .

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