如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于两点．点、，以为-优题课

如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于两点．点、，以为一边在轴上方作矩形，且．设矩形与重叠部分的面积为．

（1）求点、的坐标；
（2）当值由小到大变化时，求与的函数关系式；
（3）若在直线上存在点，使等于，请直接写出的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

计算： $| - 5 | - {(1 - π)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 6 (a \neq 0)$ 交 $x$ 轴于点 $A (6, 0)$ 和点 $B (- 1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点 $P$ 是抛物线上位于直线 $AC$ 上方的动点，过点 $P$ 分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的平行线，交直线 $AC$ 于点 $D$ ， $E$ ，当 $PD + PE$ 取最大值时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图（2），点 $M$ 为抛物线对称轴 $l$ 上一点，点 $N$ 为抛物线上一点，当直线 $AC$ 垂直平分 $ΔAMN$ 的边 $MN$ 时，求点 $N$ 的坐标．

古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，延长 $AB$ 至点 $C$ ，使 $BC = OB$ ，点 $E$ 是线段 $OB$ 的中点， $DE ⊥ AB$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一动点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $CD$ ， $PE$ ， $PC$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）小明在研究的过程中发现 $\frac{PE}{PC}$ 是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的 $A$ 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 $10 %$ ，求：

（1） $A$ 型自行车去年每辆售价多少元？

（2）该车行今年计划新进一批 $A$ 型车和新款 $B$ 型车共60辆，且 $B$ 型车的进货数量不超过 $A$ 型车数量的两倍．已知 $A$ 型车和 $B$ 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划 $B$ 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级： $A$ 级为优秀， $B$ 级为良好， $C$ 级为及格， $D$ 级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是　　名；

（2）扇形统计图中表示 $A$ 级的扇形圆心角 $α$ 的度数是　　，并把条形统计图补充完整；

（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为　　；

（4）某班有4名优秀的同学（分别记为 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ ，其中 $E$ 为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．

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